kaoyan3basic 概率论与数理统计 第509题

教材习题

📝 题目

### 第509题 509 已知 $X \sim N(15,4)$ ，若 $X$ 的值落人区间 $\left(-\infty, x_{1}\right),\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(x_{2}, x_{3}\right),\left(x_{3}, x_{4}\right)$ ， $\left(x_{4},+\infty\right)$ 内的概率之比为 $7: 24: 38: 24: 7$ ，则 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 分别为 （A） $12,13.5,16.5,18$ ． （B） $11.5,13.5,16.5,18.5$ ． （C） $12,14,16,18$ ． （D） $11,14,16,19$ ． 附：标准正态分布函数值 $\Phi(1.5)=0.93, \Phi(0.5)=0.69$ ．

💡 答案解析

**答案**：A **解析**：步骤1：概率之比为$7:24:38:24:7$，总比例$100$，对应概率$0.07,0.24,0.38,0.24,0.07$。 步骤2：$P\{X \leqslant x_1\}=0.07$，$P\{X \leqslant x_2\}=0.07+0.24=0.31$，$P\{X \leqslant x_3\}=0.31+0.38=0.69$，$P\{X \leqslant x_4\}=0.69+0.24=0.93$。 步骤3：标准化，$X \sim N(15,4)$，$\displaystyle \frac{X-15}{2} \sim N(0,1)$。由$\Phi(1.5)=0.93$，$\Phi(0.5)=0.69$，得$\displaystyle \frac{x_4-15}{2}=1.5 \Rightarrow x_4=18$，$\displaystyle \frac{x_3-15}{2}=0.5 \Rightarrow x_3=16$，$\displaystyle \frac{x_2-15}{2}=-0.5 \Rightarrow x_2=14$，$\displaystyle \frac{x_1-15}{2}=-1.5 \Rightarrow x_1=12$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将概率之比转换为累积概率
概率之比为7:24:38:24:7，总比例为100，对应概率分别为0.07, 0.24, 0.38, 0.24, 0.07。计算累积概率：P{X ≤ x1}=0.07，P{X ≤ x2}=0.07+0.24=0.31，P{X ≤ x3}=0.31+0.38=0.69，P{X ≤ x4}=0.69+0.24=0.93。
提示：注意累积概率是逐段相加。
步骤 2/3
目标：标准化正态分布
X ~ N(15,4)，标准差为2，标准化得Z = (X-15)/2 ~ N(0,1)。根据标准正态分布函数值Φ(1.5)=0.93，Φ(0.5)=0.69，以及对称性Φ(-0.5)=1-0.69=0.31，Φ(-1.5)=1-0.93=0.07。
公式：Z = (X-15)/2
提示：利用标准正态分布表查找分位数。
步骤 3/3
目标：求解x1, x2, x3, x4
由P{X ≤ x4}=0.93得Φ((x4-15)/2)=0.93，故(x4-15)/2=1.5，解得x4=18。由P{X ≤ x3}=0.69得Φ((x3-15)/2)=0.69，故(x3-15)/2=0.5，解得x3=16。由P{X ≤ x2}=0.31得Φ((x2-15)/2)=0.31，故(x2-15)/2=-0.5，解得x2=14。由P{X ≤ x1}=0.07得Φ((x1-15)/2)=0.07，故(x1-15)/2=-1.5，解得x1=12。
公式：x = μ + zσ
提示：注意负分位数的对应。

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