kaoyan3basic 概率论与数理统计 第510题
📝 题目
### 第510题 510 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则 随机变量 $2 X+3$ 的概率密度函数为 （A）$\displaystyle \frac{1}{2} f\left(\frac{x-3}{2}\right)$ ． （B）$\displaystyle f\left(\frac{x-3}{2}\right)$ ． （C） $2 f(2 x+3)$ ． （D）$f(2 x+3)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：设$Y=2X+3$，则$\displaystyle X=\frac{Y-3}{2}$，$Y$的分布函数$\displaystyle F_Y(y)=P\{Y \leqslant y\}=P\{X \leqslant \frac{y-3}{2}\}=F_X(\frac{y-3}{2})$。 步骤2：对$y$求导得概率密度$\displaystyle f_Y(y)=f_X(\frac{y-3}{2}) \cdot \frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设Y=2X+3，用X表示Y
设Y=2X+3，则X=(Y-3)/2。
公式：X = (Y-3)/2
提示：注意反函数存在且单调递增。
步骤 2/3
目标：求Y的分布函数
Y的分布函数F_Y(y)=P{Y≤y}=P{2X+3≤y}=P{X≤(y-3)/2}=F_X((y-3)/2)。
公式：F_Y(y) = F_X((y-3)/2)
提示：利用X的分布函数表示。
步骤 3/3
目标：对分布函数求导得概率密度
对F_Y(y)求导得f_Y(y)=f_X((y-3)/2) * (1/2)。
公式：f_Y(y) = f_X((y-3)/2) * (1/2)
提示：注意链式法则，导数因子为1/2。
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