kaoyan3basic 概率论与数理统计 第513题
📝 题目
### 第513题 513 设相互独立的随机变量 $X_{i}$ 的分布函数为 $F_{i}(x)$ ，概率密度函数为 $f_{i}(x), i=1,2$ ，则随机变量 $Y=\max \left(X_{1}, X_{2}\right)$ 的概率密度函数为 （A）$f_{1}(x) f_{2}(x)$ ． （B）$f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ． （C）$f_{1}(x) F_{1}(x)+f_{2}(x) F_{2}(x)$ ． （D）$f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$Y=\max(X_1,X_2)$的分布函数$F_Y(y)=P\{\max(X_1,X_2) \leqslant y\}=P\{X_1 \leqslant y\}P\{X_2 \leqslant y\}=F_1(y)F_2(y)$。 步骤2：求导得概率密度$f_Y(y)=f_1(y)F_2(y) + f_2(y)F_1(y)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求Y的分布函数
由于X1和X2相互独立，Y=max(X1,X2)的分布函数为F_Y(y)=P{Y≤y}=P{X1≤y, X2≤y}=P{X1≤y}P{X2≤y}=F1(y)F2(y)。
公式：F_Y(y)=F_1(y)F_2(y)
提示：独立随机变量最大值分布函数等于各自分布函数的乘积。
步骤 2/2
目标：对分布函数求导得概率密度
对F_Y(y)求导，利用乘法法则：f_Y(y)=F_Y'(y)=F1'(y)F2(y)+F1(y)F2'(y)=f1(y)F2(y)+f2(y)F1(y)。
公式：f_Y(y)=f_1(y)F_2(y)+f_2(y)F_1(y)
提示：注意分布函数求导得概率密度。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。