kaoyan3basic 概率论与数理统计 第514题
📝 题目
### 第514题 514 假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则可以作出服从参数为 $2 \lambda$ 的指数分布的随机变量如 （A）$X+Y$ ． （B）$X-Y$ ． （C） $\max (X, Y)$ ． （D） $\min (X, Y)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$X,Y$独立同指数分布，参数$\lambda$，则$\min(X,Y)$服从参数为$2\lambda$的指数分布（因为$P\{\min(X,Y)>t\}=e^{-2\lambda t}$）。 步骤2：$X+Y$服从Gamma分布，不是指数分布；$X-Y$可取负值；$\max(X,Y)$的分布不是指数分布。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定min(X,Y)的分布
由于X和Y独立同分布，且服从参数为λ的指数分布，考虑min(X,Y)的分布函数。对于任意t>0，有P{min(X,Y)>t}=P{X>t,Y>t}=P{X>t}P{Y>t}=e^{-λt}e^{-λt}=e^{-2λt}，因此min(X,Y)服从参数为2λ的指数分布。
公式：P{min(X,Y)>t}=e^{-2λt}
提示：指数分布的最小值仍为指数分布，参数为各参数之和。
步骤 2/2
目标：分析其他选项
（A）X+Y服从形状参数为2、尺度参数为1/λ的Gamma分布，不是指数分布；（B）X-Y可取负值，而指数分布非负，故不是指数分布；（C）max(X,Y)的分布函数为P{max(X,Y)≤t}=(1-e^{-λt})^2，不是指数分布形式。
提示：注意指数分布的非负性和无记忆性。
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