kaoyan3basic 概率论与数理统计 第515题
📝 题目
### 第515题 515 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布。已知 $P\{X=k\}=p q^{k-1}(k=1,2,3, \cdots)$ ，其中 $0
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\displaystyle P\{X=Y\} = \sum_{k=1}^{\infty} P\{X=k\}P\{Y=k\} = \sum_{k=1}^{\infty} (p q^{k-1})^2 = p^2 \sum_{k=0}^{\infty} q^{2k} = p^2 \cdot \frac{1}{1-q^2}$。 步骤2：$1-q^2 = (1-q)(1+q) = p(1+q)$，且$q=1-p$，故$1+q=2-p$，所以$\displaystyle P\{X=Y\} = \frac{p^2}{p(2-p)} = \frac{p}{2-p}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出P{X=Y}的表达式
由于X和Y独立同分布，且取值均为正整数，则P{X=Y} = Σ_{k=1}^{∞} P{X=k}P{Y=k} = Σ_{k=1}^{∞} (p q^{k-1})^2 = p^2 Σ_{k=1}^{∞} q^{2(k-1)} = p^2 Σ_{k=0}^{∞} q^{2k}。
公式：P{X=Y} = Σ_{k=1}^{∞} P{X=k}P{Y=k}
提示：利用独立性和同分布，将联合概率转化为乘积求和。
步骤 2/3
目标：计算无穷级数
Σ_{k=0}^{∞} q^{2k} = 1/(1-q^2)，因为|q|<1。所以P{X=Y} = p^2/(1-q^2)。
公式：Σ_{k=0}^{∞} r^k = 1/(1-r)，|r|<1
提示：注意q^2<1，级数收敛。
步骤 3/3
目标：化简表达式
1-q^2 = (1-q)(1+q) = p(1+q)。又q=1-p，所以1+q=2-p。因此P{X=Y} = p^2 / [p(2-p)] = p/(2-p)。
公式：1-q^2 = p(1+q)
提示：利用q=1-p进行代换。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。