kaoyan3basic 概率论与数理统计 第516题
📝 题目
### 第516题 516 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \frac{1}{2}\right)$ ，如果 $\displaystyle P\{X+Y \leqslant 1\}=\frac{1}{2}$ ，则 $\mu$ 等于 （A）-1 ． （B） 0 ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$X,Y$独立同分布$\displaystyle N(\mu, \frac{1}{2})$，则$X+Y \sim N(2\mu, 1)$。 步骤2：$\displaystyle P\{X+Y \leqslant 1\} = \Phi\left(\frac{1-2\mu}{1}\right) = \frac{1}{2}$，得$\displaystyle \frac{1-2\mu}{1}=0$，解得$\displaystyle \mu=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定X+Y的分布
由于X与Y相互独立且均服从正态分布N(μ, 1/2)，根据正态分布的可加性，X+Y服从正态分布，均值为2μ，方差为1/2+1/2=1，即X+Y ~ N(2μ, 1)。
公式：若X~N(μ1,σ1^2), Y~N(μ2,σ2^2)且独立，则X+Y~N(μ1+μ2, σ1^2+σ2^2)
提示：注意方差相加，不是标准差相加。
步骤 2/2
目标：利用概率条件求解μ
已知P{X+Y ≤ 1} = 1/2，标准化得P{(X+Y-2μ)/1 ≤ (1-2μ)/1} = Φ(1-2μ) = 1/2。由于标准正态分布的0分位点为0，即Φ(0)=1/2，所以1-2μ=0，解得μ=1/2。
公式：Φ(z)=1/2 ⇒ z=0
提示：标准正态分布关于0对称，概率1/2对应分位点0。
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