kaoyan3basic 概率论与数理统计 第517题
📝 题目
### 第517题 517 设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}},-\infty
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：由概率密度函数$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$可知，$(X,Y)$服从二维标准正态分布，且$X$与$Y$相互独立。因此，在$Y=y$的条件下，$X$的条件分布即为$X$的边缘分布，即$\displaystyle f_{X|Y}(x|y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别联合分布类型
观察概率密度函数 f(x,y) = (1/(2π)) e^{-(x^2+y^2)/2}，这是二维标准正态分布的密度函数，其中均值向量为 (0,0)，协方差矩阵为单位矩阵。
提示：二维标准正态分布的联合密度函数形式为 f(x,y) = (1/(2π)) e^{-(x^2+y^2)/2}。
步骤 2/4
目标：判断独立性
由于联合密度函数可以分解为两个边缘密度函数的乘积：f(x,y) = (1/√(2π) e^{-x^2/2}) * (1/√(2π) e^{-y^2/2})，因此 X 与 Y 相互独立。
公式：f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
提示：若联合密度可分解为边缘密度的乘积，则随机变量独立。
步骤 3/4
目标：计算条件概率密度
由于 X 与 Y 独立，条件密度 f_{X|Y}(x|y) 等于边缘密度 f_X(x)。而 X 服从标准正态分布，即 f_X(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}。
公式：f_{X|Y}(x|y) = f_X(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}
提示：独立时，条件分布等于边缘分布。
步骤 4/4
目标：选择正确选项
比较选项，A 选项为 (1/√(2π)) e^{-x^2/2}，与计算结果一致。
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