kaoyan3basic 概率论与数理统计 第518题
📝 题目
### 第518题 518 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，均服从分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $P\{X \geqslant Y\}$ 的值为 （A）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$X$和$Y$独立同分布，$\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$。则$\displaystyle P\{X\geq Y\}=P\{X=0,Y=0\}+P\{X=1,Y=0\}+P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定随机变量的分布
X和Y相互独立，均服从二项分布B(1,1/2)，即伯努利分布，参数p=1/2。因此P{X=0}=P{X=1}=1/2，同样Y也是。
公式：P{X=k}=C(1,k)(1/2)^k(1/2)^{1-k}=1/2, k=0,1
提示：二项分布B(1,p)就是两点分布。
步骤 2/3
目标：列出事件X≥Y的所有可能情况
X≥Y包括三种情况：(X=0,Y=0), (X=1,Y=0), (X=1,Y=1)。注意(X=0,Y=1)不满足。
提示：不要遗漏(X=0,Y=0)和(X=1,Y=1)的情况。
步骤 3/3
目标：计算每种情况的概率并求和
由于独立，P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1/2 * 1/2 = 1/4。同理，P{X=1,Y=0}=1/4，P{X=1,Y=1}=1/4。总和为3/4。
公式：P{X≥Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=1/4+1/4+1/4=3/4
提示：利用独立性将联合概率分解为边缘概率的乘积。
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