kaoyan3basic 概率论与数理统计 第519题
📝 题目
### 第519题 519 设随机变量 $\displaystyle X_{i} \sim\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)(i=1,2)$ 且满足条件 $P\left\{X_{1}+X_{2}=0\right\}=1$ ，则 $P\left\{X_{1}=X_{2}\right\}$ 等于 （A） 0 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：由$P\{X_1+X_2=0\}=1$知，$X_1$与$X_2$取值互为相反数。因此$X_1=X_2$仅当$X_1=X_2=0$，但此时$X_1+X_2=0$成立，而$\displaystyle P\{X_1=0\}=\frac{1}{2}$，但$X_1$与$X_2$不独立，需考虑联合分布。由于$X_1+X_2=0$恒成立，$X_1$与$X_2$不可能相等（除非$X_1=0$且$X_2=0$，但若$X_1=0$则$X_2=0$，但$X_1=0$概率为$\displaystyle \frac{1}{2}$，而$X_2=0$概率也为$\displaystyle \frac{1}{2}$，但联合分布下$P\{X_1=0,X_2=0\}=0$，因为$X_1+X_2=0$且$X_1=0$推出$X_2=0$，但$X_1=0$时$X_2$必须为0，然而$X_1=0$概率为$\displaystyle \frac{1}{2}$，$X_2=0$概率为$\displaystyle \frac{1}{2}$，但$P\{X_1=0,X_2=0\}=P\{X_1=0\}=?$，实际上由$P\{X_1+X_2=0\}=1$，则$X_1=-X_2$，故$X_1=X_2$仅当$X_1=X_2=0$，但此时$X_1=0$且$X_2=0$，但$X_1=0$时$X_2=0$，所以$\displaystyle P\{X_1=0,X_2=0\}=P\{X_1=0\}=\frac{1}{2}$？矛盾。重新分析：$X_1$与$X_2$同分布，且$X_1+X_2=0$几乎必然成立，则$X_1$与$X_2$互为相反数，因此$X_1=X_2$仅当$X_1=0$，但此时$X_2=0$，故$\displaystyle P\{X_1=X_2\}=P\{X_1=0\}=\frac{1}{2}$？但选项无$\displaystyle \frac{1}{2}$。需计算联合分布：由$P\{X_1+X_2=0\}=1$，则$X_1$与$X_2$取值必须和为0，可能组合为(-1,1)、(0,0)、(1,-1)。边缘分布要求$\displaystyle P\{X_1=-1\}=\frac{1}{4}$，故$\displaystyle P\{X_1=-1,X_2=1\}=\frac{1}{4}$；$\displaystyle P\{X_1=1,X_2=-1\}=\frac{1}{4}$；$\displaystyle P\{X_1=0,X_2=0\}=\frac{1}{2}$。则$\displaystyle P\{X_1=X_2\}=P\{X_1=0,X_2=0\}=\frac{1}{2}$。但选项A为0，B为$\displaystyle \frac{1}{4}$，C为$\displaystyle \frac{1}{2}$，D为1。故答案应为C。但原题答案可能为A？检查：若$P\{X_1+X_2=0\}=1$，则$X_1$与$X_2$不可能相等，因为若$X_1=X_2$，则$2X_1=0$，故$X_1=0$，但$X_1=0$时$X_2=0$，此时$X_1+X_2=0$成立，所以$X_1=X_2$可能发生。实际上，$\displaystyle P\{X_1=X_2\}=P\{X_1=0\}=\frac{1}{2}$。故答案选C。 **难度**：★★★☆☆