kaoyan3basic 概率论与数理统计 第520题
📝 题目
### 第520题 520 设 $(X, Y)$ 具有概率密度函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1+\sin x \sin y}{2 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ ，则 （A）$(X, Y)$ 服从二维正态，且 $X$ 与 $Y$ 均服从一维正态分布． （B）$(X, Y)$ 服从二维正态，但 $X$ 与 $Y$ 均不服从一维正态分布． （C）$(X, Y)$ 不服从二维正态，且 $X$ 与 $Y$ 均不服从一维正态分布． （D）$(X, Y)$ 不服从二维正态，但 $X$ 与 $Y$ 均服从一维正态分布．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$\displaystyle f(x,y)=\frac{1+\sin x\sin y}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$，其边缘密度$\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$，同理$\displaystyle f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}$，故$X$与$Y$均服从标准正态分布。但联合密度不是二维正态密度（二维正态密度指数部分为二次型，此处有$\sin x\sin y$项），故$(X,Y)$不服从二维正态分布。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X和Y的边缘概率密度函数
计算边缘密度f_X(x) = ∫_{-∞}^{∞} f(x,y) dy，其中f(x,y) = (1+sin x sin y)/(2π) e^{-(x^2+y^2)/2}。由于sin y是奇函数，∫_{-∞}^{∞} sin y e^{-y^2/2} dy = 0，且∫_{-∞}^{∞} e^{-y^2/2} dy = √(2π)，所以f_X(x) = (1/(2π)) e^{-x^2/2} * √(2π) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}。同理f_Y(y) = (1/√(2π)) e^{-y^2/2}。
公式：f_X(x) = ∫_{-∞}^{∞} f(x,y) dy
提示：利用奇函数性质简化积分。
步骤 2/3
目标：判断X和Y是否服从一维正态分布
由边缘密度函数可知，X和Y均服从标准正态分布N(0,1)。
公式：f_X(x) = (1/√(2π)) e^{-x^2/2}
提示：标准正态分布的概率密度函数形式。
步骤 3/3
目标：判断(X,Y)是否服从二维正态分布
二维正态分布的概率密度函数指数部分为二次型，而本题联合密度包含sin x sin y项，不是二次型，因此不是二维正态分布。
公式：二维正态密度形式：f(x,y) = (1/(2πσ_xσ_y√(1-ρ^2))) exp{...}
提示：注意联合密度中是否有交叉项乘积的指数形式。
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