kaoyan3basic 概率论与数理统计 第521题
📝 题目
### 第521题 521 设二维随机变量 $(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 有相同的边缘分布，则 （A）$(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 有相同的联合分布． （B）$(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 不一定有相同的联合分布． （C）$(X+Y)$ 与 $(U+V)$ 有相同的分布． （D）$(X-Y)$ 与 $(U-V)$ 有相同的分布．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：边缘分布相同不能推出联合分布相同，例如两个不同的Copula函数可构造相同边缘分布但不同联合分布的随机向量。故$(X,Y)$与$(U,V)$不一定有相同的联合分布。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解边缘分布与联合分布的关系
边缘分布仅描述单个随机变量的分布，而联合分布描述多个随机变量之间的相互关系。即使两个随机向量具有相同的边缘分布，它们的联合分布也可能不同，因为联合分布还包含变量间的依赖结构（如相关性）。
提示：边缘分布相同是联合分布相同的必要条件，但不是充分条件。
步骤 2/4
目标：分析选项A
选项A声称(X,Y)与(U,V)有相同的联合分布。但根据边缘分布不能唯一确定联合分布，例如可以通过不同的Copula函数构造具有相同边缘分布但不同联合分布的随机向量，因此A错误。
提示：反例：两个随机变量分别服从标准正态分布，但一个独立，另一个完全正相关，边缘分布相同但联合分布不同。
步骤 3/4
目标：分析选项B
选项B说(X,Y)与(U,V)不一定有相同的联合分布。这与上述分析一致，即边缘分布相同不能保证联合分布相同，因此B正确。
步骤 4/4
目标：分析选项C和D
选项C和D分别考虑X+Y与U+V、X-Y与U-V的分布。虽然边缘分布相同，但和的分布依赖于联合分布，例如若X和Y正相关，则X+Y的方差大于独立情况，因此边缘分布相同不能保证和的分布相同，故C和D错误。
公式：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
提示：和的分布受协方差影响，边缘分布相同但协方差不同时，和的分布不同。
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