kaoyan3basic 概率论与数理统计 第561题
📝 题目
### 第561题 561 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}, S^{*}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}$ ，则 （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}} \sim t(n)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}} \sim t(n-1)$ ． 设随机变量 $X \sim F(n, n), p_{1}=P\{X \geqslant 1\}, p_{2}=P\{X \leqslant 1\}$ ，则
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle \bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，则$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}\sim N(0,1)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，且与$\bar{X}$独立。 步骤3：由$t$分布定义，$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)/\sigma}{\sqrt{S^2/\sigma^2}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$。 **难度**：★★★☆☆