kaoyan3basic 概率论与数理统计 第560题
📝 题目
### 第560题 560 设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ，已知 $X_{1}, \cdots, X_{m}$ 与 $Y_{1}, \cdots, Y_{n}$ 是分别来自总体 $X$与 $Y$ 两个相互独立的简单随机样本，统计量 $\displaystyle Y=\frac{2\left(X_{1}+\cdots+X_{m}\right)}{\sqrt{Y_{1}^{2}+\cdots+Y_{n}^{2}}}$ 服从 $t(n)$ 分布，则 $\displaystyle \frac{m}{n}$ 等于 （A） 1 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle U=\frac{X_1+\cdots+X_m}{\sigma\sqrt{m}}\sim N(0,1)$，$\displaystyle V=\frac{Y_1^2+\cdots+Y_n^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$。 步骤2：$\displaystyle Y=\frac{2(X_1+\cdots+X_m)}{\sqrt{Y_1^2+\cdots+Y_n^2}}=\frac{2\sigma\sqrt{m}U}{\sigma\sqrt{V}}=\frac{2\sqrt{m}U}{\sqrt{V}}$。 步骤3：$Y\sim t(n)$要求分子为$N(0,1)$，分母为$\sqrt{\chi^2(n)/n}$，即$\displaystyle \frac{U}{\sqrt{V/n}}\sim t(n)$，故$2\sqrt{m}=\sqrt{n}$，得$\displaystyle \frac{m}{n}=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★★★☆