kaoyan3basic 概率论与数理统计 第559题
📝 题目
### 第559题 559 设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 是来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle Y= \frac{\left(X_{1}-X_{2}\right)^{2}+\left(X_{3}-X_{4}\right)^{2}}{\left(X_{1}+X_{2}\right)^{2}+\left(X_{3}+X_{4}\right)^{2}}$ 服从 （A）$F(4,4)$ ． （B）$F(2,2)$ ． （C）$F(2,4)$ ． （D）不是 $F$ 分布．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X_1-X_2\sim N(0,2\sigma^2)$，$X_3-X_4\sim N(0,2\sigma^2)$，则$\displaystyle \frac{(X_1-X_2)^2+(X_3-X_4)^2}{2\sigma^2}\sim\chi^2(2)$。 步骤2：$X_1+X_2\sim N(0,2\sigma^2)$，$X_3+X_4\sim N(0,2\sigma^2)$，则$\displaystyle \frac{(X_1+X_2)^2+(X_3+X_4)^2}{2\sigma^2}\sim\chi^2(2)$。 步骤3：两$\chi^2$独立，比值服从$F(2,2)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定分子分布
由于X1, X2, X3, X4独立同分布于N(0,σ²)，则X1-X2 ~ N(0,2σ²)，X3-X4 ~ N(0,2σ²)。标准化后，(X1-X2)/(√2 σ) ~ N(0,1)，(X3-X4)/(√2 σ) ~ N(0,1)。因此，[(X1-X2)²+(X3-X4)²]/(2σ²) ~ χ²(2)。
公式：χ² = (X1-X2)²/(2σ²) + (X3-X4)²/(2σ²) ~ χ²(2)
提示：注意自由度：两个独立标准正态的平方和服从自由度为2的卡方分布。
步骤 2/3
目标：确定分母分布
类似地，X1+X2 ~ N(0,2σ²)，X3+X4 ~ N(0,2σ²)。标准化后，(X1+X2)/(√2 σ) ~ N(0,1)，(X3+X4)/(√2 σ) ~ N(0,1)。因此，[(X1+X2)²+(X3+X4)²]/(2σ²) ~ χ²(2)。
公式：χ² = (X1+X2)²/(2σ²) + (X3+X4)²/(2σ²) ~ χ²(2)
提示：注意分母的卡方分布也是自由度为2。
步骤 3/3
目标：判断独立性并构造F统计量
由于(X1-X2, X3-X4)与(X1+X2, X3+X4)相互独立（因为协方差为0且正态分布），所以两个卡方分布独立。因此，统计量Y = [((X1-X2)²+(X3-X4)²)/(2σ²) / 2] / [((X1+X2)²+(X3+X4)²)/(2σ²) / 2] = [(X1-X2)²+(X3-X4)²] / [(X1+X2)²+(X3+X4)²] ~ F(2,2)。
公式：F = (U/2) / (V/2) ~ F(2,2)，其中U和V独立且均服从χ²(2)
提示：F分布的自由度由分子和分母卡方分布的自由度决定。
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