kaoyan3basic 概率论与数理统计 第558题
📝 题目
### 第558题 558 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值、方差分别为 $\bar{X}, S^{2}$ 。则 （A）$\displaystyle \frac{\bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{(n-1) \bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{n \bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{(n+1) \bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle \bar{X}\sim N(0,\frac{\sigma^2}{n})$，则$\displaystyle \frac{n\bar{X}^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(1)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，且与$\bar{X}$独立。 步骤3：由$F$分布定义，$\displaystyle \frac{n\bar{X}^2/\sigma^2}{S^2/\sigma^2}=\frac{n\bar{X}^2}{S^2}\sim F(1,n-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定样本均值的分布
由于总体X服从N(0,σ²)，样本均值X̄服从N(0, σ²/n)。因此，标准化后得到nX̄²/σ²服从自由度为1的卡方分布。
公式：X̄ ~ N(0, σ²/n) ⇒ nX̄²/σ² ~ χ²(1)
提示：注意均值为0，所以标准化时分子为X̄，分母为σ/√n。
步骤 2/3
目标：确定样本方差的分布
样本方差S²满足(n-1)S²/σ²服从自由度为n-1的卡方分布，且与X̄独立。
公式：(n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)
提示：卡方分布的自由度为n-1，且与样本均值独立。
步骤 3/3
目标：构造F统计量
根据F分布的定义，F = (U/p) / (V/q)，其中U~χ²(p)，V~χ²(q)且独立。这里取U = nX̄²/σ² ~ χ²(1)，V = (n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)，则F = (nX̄²/σ²)/1 ÷ ((n-1)S²/σ²)/(n-1) = nX̄²/S² ~ F(1, n-1)。
公式：F = (nX̄²/σ²) / ((n-1)S²/σ²/(n-1)) = nX̄²/S² ~ F(1, n-1)
提示：注意分子分母的σ²约掉，且自由度分别为1和n-1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。