kaoyan3basic 概率论与数理统计 第556题
📝 题目
### 第556题 556 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), \bar{X}, S^{2}$ 分别为容量是 $n$ 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量 （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S^{2}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{n \bar{X}}{S}$ ． （D）$\displaystyle \frac{n \bar{X}}{S^{2}}$ ． 557 设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots, X_{11}$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y^{2}=\frac{1}{10} \sum_{i=2}^{11} X_{i}^{2}$ ，则
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\displaystyle \bar{X}\sim N(0,\frac{\sigma^2}{n})$，$\displaystyle \frac{\sqrt{n}\bar{X}}{\sigma}\sim N(0,1)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，且与$\bar{X}$独立。 步骤3：由$t$分布定义，$\displaystyle \frac{\sqrt{n}\bar{X}/S}{\sqrt{(n-1)S^2/\sigma^2/(n-1)}}=\frac{\sqrt{n}\bar{X}}{S}\sim t(n-1)$，但选项A中分母为$S$，实际应为$t(n-1)$，题目未指明自由度，但A为正确形式。 **难度**：★★★☆☆