kaoyan3basic 概率论与数理统计 第555题
📝 题目
### 第555题 555 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则不能得出结论 （A）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布． （B） $2\left(X_{n}-X_{1}\right)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布． （C）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布． （D）$n(\bar{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$X_i\sim N(\mu,1)$，则$\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)$，A正确。 步骤2：$n(\bar{X}-\mu)^2\sim\chi^2(1)$，D正确。 步骤3：$\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\sim\chi^2(n-1)$，C正确。 步骤4：$2(X_n-X_1)^2$中$X_n-X_1\sim N(0,2)$，标准化后平方服从$\chi^2(1)$，但系数应为$\displaystyle \frac{1}{2}$，故B错误。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A是否正确
由于X_i独立同分布于N(μ,1)，则(X_i-μ)~N(0,1)，且相互独立，因此∑(X_i-μ)^2~χ^2(n)，故A正确。
公式：∑_{i=1}^n (X_i-μ)^2 ~ χ^2(n)
提示：注意标准化后的平方和服从卡方分布，自由度为n。
步骤 2/4
目标：判断选项D是否正确
样本均值X̄~N(μ,1/n)，则√n(X̄-μ)~N(0,1)，平方得n(X̄-μ)^2~χ^2(1)，故D正确。
公式：n(\bar{X}-μ)^2 ~ χ^2(1)
提示：样本均值的标准化服从标准正态，平方服从自由度为1的卡方分布。
步骤 3/4
目标：判断选项C是否正确
样本方差S^2 = (1/(n-1))∑(X_i-X̄)^2，且(n-1)S^2~χ^2(n-1)，因此∑(X_i-X̄)^2~χ^2(n-1)，故C正确。
公式：∑_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 ~ χ^2(n-1)
提示：注意自由度为n-1，因为样本均值消耗了一个自由度。
步骤 4/4
目标：判断选项B是否正确
X_n-X_1~N(0,2)，则(X_n-X_1)/√2~N(0,1)，平方得(X_n-X_1)^2/2~χ^2(1)，即(1/2)(X_n-X_1)^2~χ^2(1)，而选项B中系数为2，应为1/2，故B错误。
公式：\frac{(X_n-X_1)^2}{2} ~ χ^2(1)
提示：注意标准化时方差为2，因此除以√2，平方后系数为1/2。
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