kaoyan3basic 概率论与数理统计 第554题
📝 题目
### 第554题 554 设 $X_{n}$ 表示将一硬币随意投掷 $n$ 次＂正面＂出现的次数，则 （A） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． （B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． （C） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． （D） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：投掷硬币正面概率$\displaystyle p=\frac{1}{2}$，$\displaystyle X_n\sim B(n,\frac{1}{2})$，$\displaystyle E(X_n)=\frac{n}{2}$，$\displaystyle D(X_n)=\frac{n}{4}$。 步骤2：由中心极限定理，$\displaystyle \frac{X_n-\frac{n}{2}}{\sqrt{n/4}}=\frac{2X_n-n}{\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1)$，故$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{2X_n-n}{\sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi(x)$。 **难度**：★★☆☆☆