kaoyan3basic 概率论与数理统计 第564题
📝 题目
### 第564题 564 已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^{2}$ ，从总体中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其样本均值为 $\bar{X}$ ，样本方差为 $S^{2}$ 。记统计量 $\displaystyle T_{k}=\frac{n}{k} \bar{X}^{2}+\frac{1}{k} S^{2}(k=1,2,3,4)$ ，已知 $E T_{k}=\sigma^{2}$ ，则 $k=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle E(\bar{X}^2)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^2=\frac{\sigma^2}{n}+0=\frac{\sigma^2}{n}$。 步骤2：$E(S^2)=\sigma^2$。 步骤3：$\displaystyle E(T_k)=\frac{n}{k}\cdot\frac{\sigma^2}{n}+\frac{1}{k}\cdot\sigma^2=\frac{\sigma^2}{k}+\frac{\sigma^2}{k}=\frac{2\sigma^2}{k}$，令其等于$\sigma^2$，得$k=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算 E(\bar{X}^2)
由于 E(\bar{X}) = 0，D(\bar{X}) = \sigma^2/n，所以 E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = \sigma^2/n + 0 = \sigma^2/n。
公式：E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2
提示：样本均值的方差是总体方差除以样本容量。
步骤 2/3
目标：计算 E(S^2)
样本方差 S^2 是总体方差的无偏估计，即 E(S^2) = \sigma^2。
公式：E(S^2) = \sigma^2
提示：样本方差的无偏性。
步骤 3/3
目标：计算 E(T_k) 并令其等于 \sigma^2 求解 k
E(T_k) = E( (n/k) \bar{X}^2 + (1/k) S^2 ) = (n/k) * (\sigma^2/n) + (1/k) * \sigma^2 = \sigma^2/k + \sigma^2/k = 2\sigma^2/k。令 2\sigma^2/k = \sigma^2，解得 k=2。
公式：E(T_k) = \frac{2\sigma^2}{k}
提示：注意期望的线性性质。
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