kaoyan3basic 概率论与数理统计 第565题
📝 题目
### 第565题 565 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，则数学期望 $E\left\{\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)\left[\sum_{j=1}^{n}\left(n X_{j}-\sum_{k=1}^{n} X_{k}\right)^{2}\right]\right\}$ 等于 （A）$n^{3}(n-1) \mu \cdot \sigma^{2}$ ． （B）$n(n-1) \mu \cdot \sigma^{2}$ ． （C）$n^{2}(n-1) \mu \cdot \sigma^{2}$ ． （D）$n^{3}(n-1) \mu \cdot \sigma$ ． 纠钽笔记
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\sum_{i=1}^n X_i\sim N(n\mu,n\sigma^2)$，$E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=n\mu$。 步骤2：$\sum_{j=1}^n\left(nX_j-\sum_{k=1}^n X_k\right)^2=n^2\sum_{j=1}^n(X_j-\bar{X})^2$，且$\sum_{j=1}^n(X_j-\bar{X})^2\sim\sigma^2\chi^2(n-1)$，其期望为$(n-1)\sigma^2$。 步骤3：由独立性，原期望$=n\mu\cdot n^2\cdot(n-1)\sigma^2=n^3(n-1)\mu\sigma^2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算样本和的期望
由于样本来自正态总体，样本和服从正态分布：∑_{i=1}^n X_i ~ N(nμ, nσ^2)，因此期望 E(∑_{i=1}^n X_i) = nμ。
公式：∑_{i=1}^n X_i ~ N(nμ, nσ^2), E(∑_{i=1}^n X_i)=nμ
提示：注意样本独立同分布，和的正态性由正态分布可加性保证。
步骤 2/4
目标：化简第二个因子
将第二个因子中的表达式化简：∑_{j=1}^n (nX_j - ∑_{k=1}^n X_k)^2 = n^2 ∑_{j=1}^n (X_j - \bar{X})^2，其中 \bar{X} = (1/n)∑_{k=1}^n X_k。
公式：∑_{j=1}^n (nX_j - ∑_{k=1}^n X_k)^2 = n^2 ∑_{j=1}^n (X_j - \bar{X})^2
提示：注意 ∑_{k=1}^n X_k = n\bar{X}，代入即可。
步骤 3/4
目标：计算样本方差的期望
∑_{j=1}^n (X_j - \bar{X})^2 服从自由度为 n-1 的卡方分布乘以 σ^2，即 ∑(X_j - \bar{X})^2 ~ σ^2 χ^2(n-1)，其期望为 (n-1)σ^2。
公式：E[∑_{j=1}^n (X_j - \bar{X})^2] = (n-1)σ^2
提示：样本方差的无偏性：E(S^2)=σ^2，其中 S^2 = ∑(X_j - \bar{X})^2/(n-1)。
步骤 4/4
目标：利用独立性求期望
样本和与样本方差独立（正态总体下），因此原期望等于 E(∑X_i) * E[n^2 ∑(X_j - \bar{X})^2] = nμ * n^2 * (n-1)σ^2 = n^3 (n-1) μ σ^2。
公式：E(∑X_i * n^2 ∑(X_j - \bar{X})^2) = nμ * n^2 * (n-1)σ^2
提示：正态总体下样本均值和样本方差独立，这是关键性质。
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