kaoyan3basic 概率论与数理统计 第566题
📝 题目
### 第566题 566 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 和 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$ 分别来自总体均为正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 $S_{X}^{2}$ 和 $S_{Y}^{2}$ ，则统计量 $T=(n-1)\left(S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}\right)$ 的方差 $D T$ 是 （A） $2 n \sigma^{4}$ ． （B） $2(n-1) \sigma^{4}$ ． （C） $4 n \sigma^{4}$ ． （D） $4(n-1) \sigma^{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle \frac{(n-1)S_X^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，方差为$2(n-1)$，故$\displaystyle D(S_X^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}$。 步骤2：同理$\displaystyle D(S_Y^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}$，且$S_X^2$与$S_Y^2$独立。 步骤3：$\displaystyle D(T)=(n-1)^2[D(S_X^2)+D(S_Y^2)]=(n-1)^2\cdot\frac{4\sigma^4}{n-1}=4(n-1)\sigma^4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定样本方差的分布
由于总体服从正态分布，样本方差满足 (n-1)S_X^2/σ^2 ~ χ²(n-1)，其方差为 2(n-1)。
公式：D((n-1)S_X^2/σ^2) = 2(n-1)
提示：卡方分布的方差是自由度的2倍。
步骤 2/3
目标：计算样本方差的方差
由 D((n-1)S_X^2/σ^2) = 2(n-1) 得 D(S_X^2) = 2σ^4/(n-1)。同理 D(S_Y^2) = 2σ^4/(n-1)。
公式：D(S_X^2) = 2σ^4/(n-1)
提示：注意常数因子对方差的影响。
步骤 3/3
目标：利用独立性计算 T 的方差
由于两个样本独立，S_X^2 与 S_Y^2 独立，故 D(T) = (n-1)^2 [D(S_X^2) + D(S_Y^2)] = (n-1)^2 * 4σ^4/(n-1) = 4(n-1)σ^4。
公式：D(T) = 4(n-1)σ^4
提示：独立随机变量和的方差等于方差之和。
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