kaoyan3basic 概率论与数理统计 第567题
📝 题目
### 第567题 567 假设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^{2}$ 。已知 $E\left[a \bar{X}+(2-3 a) S^{2}\right]=\lambda$ ，则 $a$ 等于 （A）-1 ． （B） 0 ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D） 1 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：对于泊松分布，$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$，故$E(\bar{X})=\lambda$，$E(S^2)=\lambda$。 步骤2：$E[a\bar{X}+(2-3a)S^2]=a\lambda+(2-3a)\lambda=(2-2a)\lambda$。 步骤3：令$(2-2a)\lambda=\lambda$，得$2-2a=1$，解得$\displaystyle a=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算样本均值和样本方差的期望
对于泊松分布，总体均值 E(X)=λ，总体方差 D(X)=λ。样本均值 \(\bar{X}\) 的期望等于总体均值，即 E(\bar{X})=λ。样本方差 S^2 的期望等于总体方差，即 E(S^2)=λ。
公式：E(\bar{X}) = λ, E(S^2) = λ
提示：泊松分布的期望和方差相等，均为 λ。
步骤 2/3
目标：计算线性组合的期望
利用期望的线性性质，计算 E[a\bar{X} + (2-3a)S^2] = aE(\bar{X}) + (2-3a)E(S^2) = aλ + (2-3a)λ = (2-2a)λ。
公式：E[a\bar{X} + (2-3a)S^2] = (2-2a)λ
提示：注意系数 (2-3a) 乘以 E(S^2) 时不要遗漏。
步骤 3/3
目标：根据已知条件解出 a
已知 E[a\bar{X} + (2-3a)S^2] = λ，所以 (2-2a)λ = λ。由于 λ>0，两边除以 λ 得 2-2a=1，解得 a=1/2。
公式：2-2a=1 ⇒ a=1/2
提示：注意 λ 不为零，可以约去。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。