kaoyan3basic 概率论与数理统计 第569题
📝 题目
### 第569题 569 设总体的概率密度函数为 $\displaystyle f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：写出似然函数$\displaystyle L(\sigma)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{|x_i|}{\sigma}}=\frac{1}{(2\sigma)^n}e^{-\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^{n}|x_i|}$。 步骤2：取对数得$\displaystyle \ln L=-n\ln 2-n\ln\sigma-\frac{1}{\sigma}\sum_{i=1}^{n}|x_i|$，对$\sigma$求导并令其为零：$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\sigma}=-\frac{n}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}|x_i|=0$。 步骤3：解得$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|X_i|$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出似然函数
根据总体概率密度函数，写出样本的似然函数 L(σ) = ∏_{i=1}^n f(x_i; σ) = ∏_{i=1}^n (1/(2σ)) e^{-|x_i|/σ} = (1/(2σ))^n e^{-(1/σ)∑|x_i|}。
公式：L(σ) = (2σ)^{-n} e^{-∑|x_i|/σ}
提示：注意密度函数是偶函数，绝对值处理。
步骤 2/4
目标：取对数似然函数
对似然函数取自然对数，得 ln L(σ) = -n ln 2 - n ln σ - (1/σ) ∑|x_i|。
公式：ln L(σ) = -n ln 2 - n ln σ - ∑|x_i|/σ
提示：对数运算简化乘积为求和。
步骤 3/4
目标：求导并令导数为零
对 ln L(σ) 关于 σ 求导：d/dσ ln L = -n/σ + (1/σ^2) ∑|x_i|。令其等于0，得 -n/σ + (1/σ^2) ∑|x_i| = 0。
公式：d/dσ ln L = -n/σ + ∑|x_i|/σ^2 = 0
提示：注意求导时 ∑|x_i| 视为常数。
步骤 4/4
目标：解出 σ 的估计量
由方程解得 σ = (1/n) ∑|x_i|。因此最大似然估计量为 ˆσ = (1/n) ∑_{i=1}^n |X_i|。
公式：ˆσ = (1/n) ∑|X_i|
提示：结果与样本均值形式类似，但取绝对值。
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