kaoyan3basic 概率论与数理统计 第573题
📝 题目
### 第573题 573 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本，则统计量 $$ T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(X_{i}-1\right) $$ 的数学期望 $E(T)=$ （A）$\lambda^{2}$ ． （B）$\lambda(\lambda-1)$ ． （C）$\lambda^{2}-1$ ． （D）$\lambda$ ． 参数 $\theta$ 的矩估计量是
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$E(X^2)=\lambda+\lambda^2$。 步骤2：$\displaystyle E[T]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E[X_i(X_i-1)]=E(X^2)-E(X)=(\lambda+\lambda^2)-\lambda=\lambda^2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算E[X_i(X_i-1)]
由于X_i服从泊松分布P(λ)，其期望E(X_i)=λ，二阶矩E(X_i^2)=λ+λ^2。因此E[X_i(X_i-1)] = E(X_i^2 - X_i) = E(X_i^2) - E(X_i) = (λ+λ^2) - λ = λ^2。
公式：E[X_i(X_i-1)] = E(X_i^2) - E(X_i) = λ^2
提示：泊松分布的方差等于期望，即D(X)=λ，故E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=λ+λ^2。
步骤 2/2
目标：计算E(T)
T = (1/n) Σ_{i=1}^n X_i(X_i-1)，由期望的线性性质，E(T) = (1/n) Σ_{i=1}^n E[X_i(X_i-1)] = (1/n) * n * λ^2 = λ^2。
公式：E(T) = λ^2
提示：样本独立同分布，每个X_i(X_i-1)的期望相同。
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