人邮高数 第2章 第2-5-5题
📝 题目
5．用泰勒公式验证：当 $\displaystyle 0\lt x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，若按公式 $\displaystyle \mathrm{e}^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ 计算 $\mathrm{e}^{x}$ 的近似值时，所产生误差小于 0.01 ，并求 $\sqrt{\mathrm{e}}$ 的近似值，使误差小于 0.01 ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们使用带拉格朗日余项的泰勒公式。函数 $ f(x) = e^x $ 在 $ x=0 $ 处的 $ n $ 阶泰勒展开为： $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x), $$ 其中拉格朗日余项 $$ R_n(x) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} x^{n+1}, \quad \xi \text{ 介于 } 0 \text{ 与 } x \text{ 之间}. $$
题目中取近似公式： $$ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}, $$ 即取 $ n = 3 $，此时余项为： $$ R_3(x) = \frac{e^{\xi}}{4!} x^{4} = \frac{e^{\xi}}{24} x^{4}, \quad 0 < \xi < x. $$
当 $ 0 < x \le \frac12 $ 时，有 $ e^{\xi} < e^{x} \le e^{1/2} < e^{0.5} $。由于 $ e^{0.5} < 1.65 $（因为 $ 1.65^2 = 2.7225 > e $），所以更精确地，$ e^{0.5} < 1.65 $。于是误差估计： $$ |R_3(x)| = \frac{e^{\xi}}{24} x^4 \le \frac{e^{1/2}}{24} \left( \frac12 \right)^4 < \frac{1.65}{24 \cdot 16} = \frac{1.65}{384}. $$ 计算： $$ \frac{1.65}{384} = 0.004296875 < 0.01. $$ 因此误差小于 0.01，得证。
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现在求 $ \sqrt{e} = e^{1/2} $ 的近似值，使误差小于 0.01。
取 $ x = \frac12 $，代入近似公式： $$ e^{1/2} \approx 1 + \frac12 + \frac{(1/2)^2}{2} + \frac{(1/2)^3}{6}. $$ 逐项计算： $$ 1 = 1, $$ $$ \frac12 = 0.5, $$ $$ \frac{(1/2)^2}{2} = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8} = 0.125, $$ $$ \frac{(1/2)^3}{6} = \frac{1/8}{6} = \frac{1}{48} \approx 0.0208333\ldots $$ 相加： $$ 1 + 0.5 = 1.5, $$ $$ 1.5 + 0.125 = 1.625, $$ $$ 1.625 + 0.0208333\ldots = 1.6458333\ldots $$ 因此 $$ \sqrt{e} \approx 1.6458. $$
由于前面已证明当 $ x = 0.5 $ 时误差小于 0.01，所以这个近似值满足精度要求。
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**难度评级**：★★☆☆☆