人邮高数 第2章 第2-5-6题
📝 题目
6．设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，证明：对于 $(a, b)$ 内任意两点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，恒有 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]\gt f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)$（提示：令 $\displaystyle x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ ，分别将 $f\left(x_{1}\right)$ 与 $f\left(x_{2}\right)$ 用 $x_{0}$ 处的一阶泰勒公式来表示）。
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 设 $ x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} $，并记 $ h = x_1 - x_0 = \frac{x_1 - x_2}{2} $，则 $ x_2 - x_0 = -h $，且 $ h \neq 0 $（若 $ x_1 = x_2 $ 则不等式取等，但题目要求任意两点，通常考虑 $ x_1 \neq x_2 $ 的情形）。
将 $ f(x_1) $ 在 $ x_0 $ 处展开为一阶泰勒公式（带拉格朗日余项）： $$ f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0)(x_1 - x_0) + \frac{1}{2} f''(\xi_1)(x_1 - x_0)^2, $$ 其中 $ \xi_1 $ 介于 $ x_0 $ 与 $ x_1 $ 之间。由于 $ x_1 - x_0 = h $，所以 $$ f(x_1) = f(x_0) + f'(x_0) h + \frac{1}{2} f''(\xi_1) h^2. \tag{1} $$
同理，将 $ f(x_2) $ 在 $ x_0 $ 处展开： $$ f(x_2) = f(x_0) + f'(x_0)(x_2 - x_0) + \frac{1}{2} f''(\xi_2)(x_2 - x_0)^2, $$ 其中 $ \xi_2 $ 介于 $ x_0 $ 与 $ x_2 $ 之间。由于 $ x_2 - x_0 = -h $，所以 $$ f(x_2) = f(x_0) - f'(x_0) h + \frac{1}{2} f''(\xi_2) h^2. \tag{2} $$
将 (1) 与 (2) 相加： $$ f(x_1) + f(x_2) = 2 f(x_0) + \frac{1}{2} \left[ f''(\xi_1) + f''(\xi_2) \right] h^2. $$
由已知条件 $ f''(x) > 0 $ 对任意 $ x \in (a, b) $ 成立，因此 $ f''(\xi_1) > 0 $，$ f''(\xi_2) > 0 $，从而 $$ \frac{1}{2} \left[ f''(\xi_1) + f''(\xi_2) \right] h^2 > 0. $$
于是 $$ f(x_1) + f(x_2) > 2 f(x_0), $$ 即 $$ \frac{1}{2} \left[ f(x_1) + f(x_2) \right] > f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right). $$
证毕。