人邮高数 第3章 第3-7-*10题
📝 题目
＊10．一圆柱形的容器高为 5 m ，底圆半径为 3 m ，容器内盛满水，若将其中的水全部抽出，需做多少功？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们需要计算将圆柱形容器内全部水抽出顶部所做的功。已知容器高 $ h = 5\,\mathrm{m} $，底面半径 $ r = 3\,\mathrm{m} $，水是满的。水的密度取 $\rho = 1000\,\mathrm{kg/m^3}$，重力加速度 $ g = 9.8\,\mathrm{m/s^2} $。
**第一步：建立坐标系与微元分析** 将圆柱形容器竖直放置，取顶部水面为坐标原点，竖直向下为 $x$ 轴正方向。则容器底部在 $x = 5$ 处。 考虑深度为 $x$ 处的一个薄层水，厚度为 $dx$，该层水距离顶部的高度为 $x$ 米。 该薄层水的体积微元为 $$ dV = \pi r^2 \, dx = \pi \cdot 3^2 \, dx = 9\pi \, dx \quad (\mathrm{m^3}) $$ 其质量微元为 $$ dm = \rho \, dV = 1000 \cdot 9\pi \, dx = 9000\pi \, dx \quad (\mathrm{kg}) $$
**第二步：功的微元** 要将这一层水抽出容器顶部，需克服重力将它提升 $x$ 米（因为坐标原点在顶部，水层深度为 $x$，所以提升高度就是 $x$）。 重力为 $dm \cdot g$，因此功的微元为 $$ dW = (dm \cdot g) \cdot x = 9000\pi \, g \, x \, dx $$
**第三步：积分求总功** 从顶部 $x=0$ 到底部 $x=5$ 积分： $$ W = \int_{0}^{5} 9000\pi g \, x \, dx = 9000\pi g \int_{0}^{5} x \, dx = 9000\pi g \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{5} $$ 代入上下限： $$ W = 9000\pi g \cdot \frac{25}{2} = 9000\pi g \cdot 12.5 = 112500\pi g $$
**第四步：代入数值** 取 $ g = 9.8 $： $$ W = 112500 \times 3.1416 \times 9.8 \approx 112500 \times 30.78768 \approx 3.4636 \times 10^6 \ \mathrm{J} $$ 更精确保留表达式： $$ \boxed{W = 112500\pi g \ \mathrm{J}} $$ 若取 $g=9.8$，则 $W \approx 3.46 \times 10^6\ \mathrm{J}$。
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**难度评级**：★★☆☆☆ 本题是定积分在物理中的典型应用，只需建立坐标系、写出微元并积分，计算简单，属于基础题。