人邮高数 第3章 第3-7-*11题

[AI解答]

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根据题意，弹簧原长1 m，每压缩1 cm需力5 N，因此由胡克定律 $F = kx$ 可知，当 $x = 0.01\ \mathrm{m}$ 时，$F = 5\ \mathrm{N}$，代入得： $$ 5 = k \cdot 0.01 \quad\Rightarrow\quad k = 500\ \mathrm{N/m}. $$

弹簧的弹性势能变化等于外力做的功。设弹簧从原长算起的压缩量为 $x$，则压缩力为 $F = kx$，将弹簧从压缩量 $x_1$ 压缩到 $x_2$ 时，外力做功为： $$ W = \int_{x_1}^{x_2} F \, dx = \int_{x_1}^{x_2} kx \, dx. $$

原长1 m = 100 cm，因此： - 压缩到80 cm时，压缩量 $x_1 = 100 - 80 = 20\ \mathrm{cm} = 0.2\ \mathrm{m}$； - 压缩到60 cm时，压缩量 $x_2 = 100 - 60 = 40\ \mathrm{cm} = 0.4\ \mathrm{m}$。

代入积分： $$ W = \int_{0.2}^{0.4} 500\, x \, dx = 500 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0.2}^{0.4} = 500 \cdot \frac{1}{2} \left( (0.4)^2 - (0.2)^2 \right) = 250 \left( 0.16 - 0.04 \right) = 250 \times 0.12 = 30\ \mathrm{J}. $$

因此，从80 cm压缩至60 cm所做的功为 $30\ \mathrm{J}$。

难度：★★☆☆☆