人邮高数 第4章 第4-2-*8题
📝 题目
＊8．求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{2} \tan ^{2}(x+2 y)$ 的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解微分方程 $$ y' = \frac{1}{2} \tan^{2}(x + 2y). $$ 这是一个一阶微分方程，可以通过变量代换化为可分离变量的形式。
**步骤1：变量代换** 令 $$ u = x + 2y, $$ 则 $$ \frac{du}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx} = 1 + 2y'. $$ 由原方程 $ y' = \frac{1}{2} \tan^2 u $，代入得 $$ \frac{du}{dx} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} \tan^2 u = 1 + \tan^2 u. $$ 利用三角恒等式 $$ 1 + \tan^2 u = \sec^2 u, $$ 所以 $$ \frac{du}{dx} = \sec^2 u. $$
**步骤2：分离变量并积分** 分离变量： $$ \frac{du}{\sec^2 u} = dx \quad \Rightarrow \quad \cos^2 u \, du = dx. $$ 利用恒等式 $\cos^2 u = \frac{1 + \cos 2u}{2}$，积分得 $$ \int \frac{1 + \cos 2u}{2} \, du = \int dx. $$ 即 $$ \frac{1}{2} \left( u + \frac{1}{2} \sin 2u \right) = x + C. $$ 化简为 $$ \frac{u}{2} + \frac{1}{4} \sin 2u = x + C. $$
**步骤3：回代变量** 将 $ u = x + 2y $ 代入： $$ \frac{x + 2y}{2} + \frac{1}{4} \sin[2(x + 2y)] = x + C. $$ 两边乘以 4 消去分母： $$ 2(x + 2y) + \sin[2(x + 2y)] = 4x + 4C. $$ 整理得 $$ 2x + 4y + \sin(2x + 4y) = 4x + 4C, $$ $$ 4y + \sin(2x + 4y) = 2x + 4C. $$ 令 $ C_1 = 4C $ 为任意常数，则通解为 $$ 4y + \sin(2x + 4y) = 2x + C_1. $$
**最终答案（隐式通解）** $$ \boxed{4y + \sin(2x + 4y) = 2x + C} $$ 其中 $C$ 为任意常数。
难度：★★☆☆☆ （主要考察变量代换与三角恒等式，计算较直接，但需注意代换后的积分技巧。）