人邮高数 第4章 第4-2-*9题
📝 题目
＊9．求微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\cos \frac{x-y}{2}=\cos \frac{x+y}{2}$ 的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解微分方程 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\cos \frac{x-y}{2}=\cos \frac{x+y}{2}. $$
**第一步：利用三角恒等式化简** 移项得 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = \cos\frac{x+y}{2} - \cos\frac{x-y}{2}. $$ 由和差化积公式： $$ \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}, $$ 令 $A = \frac{x+y}{2}$，$B = \frac{x-y}{2}$，则 $$ \frac{A+B}{2} = \frac{\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}}{2} = \frac{x}{2}, $$ $$ \frac{A-B}{2} = \frac{\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2}}{2} = \frac{y}{2}. $$ 因此 $$ \cos\frac{x+y}{2} - \cos\frac{x-y}{2} = -2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}. $$ 于是原方程化为 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} = -2\sin\frac{x}{2}\sin\frac{y}{2}. $$
**第二步：分离变量** 将含 $y$ 的项与含 $x$ 的项分开： $$ \frac{\mathrm{d} y}{\sin\frac{y}{2}} = -2\sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x. $$ 注意 $\displaystyle \frac{1}{\sin\frac{y}{2}} = \csc\frac{y}{2}$。
**第三步：两边积分** $$ \int \csc\frac{y}{2} \, \mathrm{d}y = -2\int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x. $$ 左边：令 $u = \frac{y}{2}$，则 $\mathrm{d}y = 2\,\mathrm{d}u$， $$ \int \csc\frac{y}{2} \, \mathrm{d}y = \int \csc u \cdot 2\,\mathrm{d}u = 2\int \csc u \, \mathrm{d}u. $$ 而 $\displaystyle \int \csc u \, \mathrm{d}u = \ln\left|\tan\frac{u}{2}\right| + C$，所以左边为 $$ 2\ln\left|\tan\frac{y}{4}\right|. $$ 右边： $$ -2\int \sin\frac{x}{2} \, \mathrm{d}x = -2\left(-2\cos\frac{x}{2}\right) + C = 4\cos\frac{x}{2} + C. $$ 因此积分结果为 $$ 2\ln\left|\tan\frac{y}{4}\right| = 4\cos\frac{x}{2} + C. $$
**第四步：化简通解形式** 两边除以 2： $$ \ln\left|\tan\frac{y}{4}\right| = 2\cos\frac{x}{2} + C_1, \quad C_1 = \frac{C}{2}. $$ 取指数： $$ \tan\frac{y}{4} = \pm e^{C_1} e^{2\cos\frac{x}{2}}. $$ 记 $C_2 = \pm e^{C_1}$ 为任意非零常数，则 $$ \tan\frac{y}{4} = C_2 e^{2\cos\frac{x}{2}}. $$ 若允许 $C_2 = 0$，则对应 $y=0$ 也是解（由原方程验证成立），因此通解为 $$ \boxed{\tan\frac{y}{4} = C e^{2\cos\frac{x}{2}}}, $$ 其中 $C$ 为任意常数。
难度评级：★★☆☆☆ （主要用到和差化积与变量分离，计算量不大，但三角变换需要一定熟练度。）