人邮高数 第1章 第1-4-1题

教材习题

📝 题目

1．已知 $\displaystyle x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}}$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限为 0 ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**题目**：已知 $$ x_n = \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} $$ 证明数列 $\{x_n\}$ 的极限为 $0$。

**证明**： 我们要证明 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 0 $$ 即对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $$ |x_n - 0| < \varepsilon . $$

首先计算 $|x_n - 0|$： $$ |x_n| = \left| \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} \right| = \frac{1}{(n+1)^2}. $$

因此，要使 $|x_n| < \varepsilon$，只需 $$ \frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad (n+1)^2 > \frac{1}{\varepsilon} \quad \Leftrightarrow \quad n+1 > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}. $$

即 $$ n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1. $$

取正整数 $$ N = \max\left\{ 1, \left\lfloor \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1 \right\rfloor + 1 \right\}, $$ 则当 $n > N$ 时，必有 $\displaystyle n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} - 1$，从而 $$ |x_n - 0| = \frac{1}{(n+1)^2} < \varepsilon . $$

由极限定义可知 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = 0 . $$

证毕。

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：明确要证明的结论
要证明数列 {x_n} 的极限为 0，即对任意给定的 ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 |x_n - 0| < ε。
公式：lim_{n→∞} x_n = 0
提示：极限定义是证明数列极限的基本方法。
步骤 2/5
目标：计算 |x_n - 0| 的表达式
由于 x_n = (-1)^n / (n+1)^2，所以 |x_n| = 1 / (n+1)^2。
公式：|x_n| = 1/(n+1)^2
提示：绝对值符号去掉后，分子为 1，分母为 (n+1)^2。
步骤 3/5
目标：解不等式 |x_n| < ε
由 1/(n+1)^2 < ε 得 (n+1)^2 > 1/ε，即 n+1 > 1/√ε，所以 n > 1/√ε - 1。
公式：n > 1/√ε - 1
提示：注意 ε > 0，开方后不等号方向不变。
步骤 4/5
目标：选取正整数 N
取 N = max{1, floor(1/√ε - 1) + 1}，则当 n > N 时，有 n > 1/√ε - 1，从而 |x_n| < ε。
公式：N = max{1, ⌊1/√ε - 1⌋ + 1}
提示：N 必须为正整数，且要保证 n > N 时不等式成立。
步骤 5/5
目标：由极限定义得出结论
根据极限定义，对任意 ε > 0，存在这样的 N，使得当 n > N 时，|x_n - 0| < ε，因此 lim_{n→∞} x_n = 0。
提示：证明完成，注意书写规范。

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