人邮高数 第1章 第1-4-2题
📝 题目
2．证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 要证明 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2$，我们采用极限的定义或直接化简法。
首先，注意到当 $x \neq 1$ 时，分子可以因式分解： $$ \frac{x^{2}-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1, \quad (x \neq 1). $$
因此，函数在 $x=1$ 附近（除了 $x=1$ 本身）与 $x+1$ 完全相同。于是极限计算为： $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} = \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} (x+1) = 1+1 = 2. $$
**结论**：极限值为 $2$，得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简表达式
当 x ≠ 1 时，分子 x²-1 可因式分解为 (x-1)(x+1)，因此原式可化简为 x+1。
公式：x²-1 = (x-1)(x+1)
提示：注意化简只在 x≠1 时成立，但极限只关心 x 趋近于 1 时的行为，不影响结果。
步骤 2/2
目标：计算极限
由于化简后的函数 x+1 在 x=1 处连续，直接代入 x=1 得极限值为 2。
公式：lim_{x→1} (x+1) = 1+1 = 2
提示：连续函数求极限可直接代入。
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