人邮高数 第5章 第5-2-12题
📝 题目
12．求经过两点 $M_{1}(3,-2,9)$ 和 $M_{2}(-6,0,-4)$ 且与平面 $2 x-y+4 z-8=0$ 垂直的平面的方程。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求一个平面，它经过两点 $M_1(3,-2,9)$ 和 $M_2(-6,0,-4)$，并且与已知平面 $$ 2x - y + 4z - 8 = 0 $$ 垂直。 两个平面垂直的条件是它们的法向量互相垂直。
**第一步：确定已知平面的法向量** 已知平面的法向量为 $$ \vec{n}_1 = (2, -1, 4) $$
**第二步：求出向量 $\overrightarrow{M_1M_2}$** $$ \overrightarrow{M_1M_2} = (-6-3,\; 0-(-2),\; -4-9) = (-9,\; 2,\; -13) $$ 这个向量位于所求平面内。
**第三步：构造所求平面的法向量** 设所求平面的法向量为 $\vec{n}$。由于所求平面包含 $\overrightarrow{M_1M_2}$，且与已知平面垂直，所以 $\vec{n}$ 必须同时垂直于 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 和 $\vec{n}_1$。 因此我们可以取 $$ \vec{n} = \overrightarrow{M_1M_2} \times \vec{n}_1 $$ 计算叉积： $$ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -9 & 2 & -13 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix} $$ 按第一行展开： $$ \vec{n} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -13 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -9 & -13 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -9 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} $$ 计算各行列式： $$ \begin{vmatrix} 2 & -13 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = 2\cdot4 - (-13)(-1) = 8 - 13 = -5 $$ $$ \begin{vmatrix} -9 & -13 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (-9)\cdot4 - (-13)\cdot2 = -36 + 26 = -10 $$ 注意前面有负号：$-\mathbf{j}(-10) = +10\mathbf{j}$ $$ \begin{vmatrix} -9 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-9)(-1) - 2\cdot2 = 9 - 4 = 5 $$ 所以 $$ \vec{n} = (-5)\mathbf{i} + 10\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (-5, 10, 5) $$ 可以约去公因子5，取 $$ \vec{n} = (-1, 2, 1) $$
**第四步：写出平面方程** 取点 $M_1(3,-2,9)$，法向量 $(-1,2,1)$，平面方程为 $$ -1(x - 3) + 2(y + 2) + 1(z - 9) = 0 $$ 化简： $$ -(x - 3) + 2(y + 2) + (z - 9) = 0 $$ $$ -x + 3 + 2y + 4 + z - 9 = 0 $$ $$ -x + 2y + z - 2 = 0 $$ 或乘以-1： $$ x - 2y - z + 2 = 0 $$
**最终答案**： $$ \boxed{x - 2y - z + 2 = 0} $$
难度：★★☆☆☆