人邮高数 第5章 第5-2-13题
📝 题目
13．求平面 $5 x-14 y+2 z-8=0$ 和 $x O y$ 面的夹角．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知平面方程为 $$ 5x - 14y + 2z - 8 = 0 $$ 其法向量为 $$ \vec{n}_1 = (5,\,-14,\,2) $$ 而 $xOy$ 面（即 $z=0$ 平面）的法向量为 $$ \vec{n}_2 = (0,\,0,\,1) $$
两平面之间的夹角 $\theta$ 定义为它们法向量夹角中的锐角（或直角），满足 $$ \cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \cdot \|\vec{n}_2\|} $$
计算点积： $$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 5\cdot 0 + (-14)\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2 $$
法向量的模： $$ \|\vec{n}_1\| = \sqrt{5^2 + (-14)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 196 + 4} = \sqrt{225} = 15 $$ $$ \|\vec{n}_2\| = 1 $$
因此 $$ \cos\theta = \frac{|2|}{15 \cdot 1} = \frac{2}{15} $$
从而 $$ \theta = \arccos\left(\frac{2}{15}\right) $$
这就是平面与 $xOy$ 面的夹角。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定两平面的法向量
平面 5x-14y+2z-8=0 的法向量为 n1=(5,-14,2)；xOy 面即 z=0，法向量为 n2=(0,0,1)。
提示：平面方程 Ax+By+Cz+D=0 的法向量为 (A,B,C)。
步骤 2/4
目标：计算两法向量的点积和模
点积 n1·n2 = 5*0 + (-14)*0 + 2*1 = 2；模 |n1| = √(5²+(-14)²+2²)=√225=15，|n2|=1。
公式：n1·n2 = 2, |n1|=15, |n2|=1
步骤 3/4
目标：利用夹角公式计算余弦值
两平面夹角 θ 满足 cosθ = |n1·n2|/(|n1|·|n2|) = |2|/(15*1)=2/15。
公式：cosθ = |n1·n2|/(|n1||n2|)
提示：夹角取锐角，故点积取绝对值。
步骤 4/4
目标：得出夹角
θ = arccos(2/15)。
提示：结果用反余弦表示即可。
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