人邮高数 第5章 第5-2-6题
📝 题目
6．求过 $z$ 轴和点 $M(-3,1,2)$ 的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知所求平面过 $z$ 轴，则其方程可设为一般形式 $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$ 但平面过 $z$ 轴，意味着 $z$ 轴上的所有点都满足该方程。$z$ 轴上的点坐标为 $(0,0,z)$，代入得 $$ A\cdot 0 + B\cdot 0 + C z + D = 0 \quad \Rightarrow \quad C z + D = 0 $$ 由于这对任意 $z$ 成立，必须 $C = 0$ 且 $D = 0$。 因此平面方程简化为 $$ Ax + By = 0 $$ 又因为平面过点 $M(-3,1,2)$，代入得 $$ A(-3) + B(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad -3A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = 3A $$ 取 $A = 1$，则 $B = 3$，于是所求平面方程为 $$ x + 3y = 0 $$ （也可写为 $x + 3y = 0$，与 $z$ 无关。）
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设平面方程
设所求平面方程为一般式 Ax + By + Cz + D = 0。
公式：Ax + By + Cz + D = 0
提示：平面方程的一般形式包含四个未知参数。
步骤 2/4
目标：利用过z轴条件
平面过z轴，则z轴上任意点(0,0,z)满足方程，代入得Cz + D = 0对任意z成立，故C=0且D=0，方程简化为Ax + By = 0。
公式：Cz + D = 0 ⇒ C=0, D=0
提示：z轴上的点横纵坐标均为0。
步骤 3/4
目标：代入已知点求参数
平面过点M(-3,1,2)，代入Ax+By=0得-3A+B=0，即B=3A。取A=1，则B=3。
公式：-3A + B = 0 ⇒ B = 3A
提示：参数可任意取非零比例，通常取简单整数。
步骤 4/4
目标：写出平面方程
将A=1，B=3代入Ax+By=0得x+3y=0。
公式：x + 3y = 0
提示：方程不含z，表示平面平行于z轴。
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