人邮高数 第5章 第5-2-7题
📝 题目
7．求过三点 $A(2,3,0) 、 B(-2,-3,4)$ 和 $C(0,6,0)$ 的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 求过三点 $A(2,3,0)$、$B(-2,-3,4)$ 和 $C(0,6,0)$ 的平面方程。
**第一步：构造两个方向向量** 取 $$ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2-2,\ -3-3,\ 4-0) = (-4,\ -6,\ 4) $$ $$ \overrightarrow{AC} = C - A = (0-2,\ 6-3,\ 0-0) = (-2,\ 3,\ 0) $$
**第二步：求平面的法向量** 法向量 $\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$，计算如下： $$ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -6 & 4 \\ -2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left( (-6)\cdot 0 - 4\cdot 3 \right) - \mathbf{j} \left( (-4)\cdot 0 - 4\cdot (-2) \right) + \mathbf{k} \left( (-4)\cdot 3 - (-6)\cdot (-2) \right) $$ 计算各分量： - $i$ 分量：$0 - 12 = -12$ - $j$ 分量：$-(0 + 8) = -8$ - $k$ 分量：$-12 - 12 = -24$
因此 $$ \mathbf{n} = (-12,\ -8,\ -24) $$ 可约去公因子 $-4$，得简化法向量 $$ \mathbf{n} = (3,\ 2,\ 6) $$
**第三步：写出平面方程** 取点 $A(2,3,0)$，法向量 $(3,2,6)$，平面方程为 $$ 3(x - 2) + 2(y - 3) + 6(z - 0) = 0 $$ 化简： $$ 3x - 6 + 2y - 6 + 6z = 0 $$ $$ 3x + 2y + 6z - 12 = 0 $$
**最终平面方程** $$ \boxed{3x + 2y + 6z = 12} $$
难度：★☆☆☆☆（直接套用公式，计算简单，无复杂技巧）