人邮高数 第5章 第5-2-8题
📝 题目
8．一平面过点 $A(1,-4,5)$ 且在各坐标轴上的截距相等，求它的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设该平面在三个坐标轴上的截距均为 $a$（$a \neq 0$），则由截距式方程可得平面的方程为 $$ \frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1 $$ 即 $$ x + y + z = a $$ 由于平面过点 $A(1, -4, 5)$，代入坐标得 $$ 1 + (-4) + 5 = a $$ 计算得 $$ 2 = a $$ 因此平面方程为 $$ x + y + z = 2 $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设截距并写出方程
设平面在三个坐标轴上的截距均为 a（a ≠ 0），则平面的截距式方程为 x/a + y/a + z/a = 1，即 x + y + z = a。
公式：截距式方程：x/a + y/a + z/a = 1
提示：注意截距不能为零，否则方程无意义。
步骤 2/3
目标：代入点坐标求截距
将点 A(1, -4, 5) 代入方程 x + y + z = a，得 1 + (-4) + 5 = a，即 a = 2。
提示：代入时注意符号。
步骤 3/3
目标：写出最终方程
将 a = 2 代入 x + y + z = a，得平面方程为 x + y + z = 2。
提示：最终方程应化简为最简形式。
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