人邮高数 第5章 第5-2-9题
📝 题目
9．设平面过原点及点 $(6,-3,2)$ 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，求此平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设所求平面方程为 $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$ 由于平面过原点，代入 $(0,0,0)$ 得 $D = 0$，因此方程简化为 $$ Ax + By + Cz = 0 $$
又平面过点 $(6,-3,2)$，代入得 $$ 6A - 3B + 2C = 0 \quad (1) $$
已知所求平面与平面 $4x - y + 2z = 8$ 垂直，两平面垂直的条件是它们的法向量点积为零。已知平面的法向量为 $\vec{n}_1 = (4, -1, 2)$，所求平面的法向量为 $\vec{n}_2 = (A, B, C)$，于是 $$ 4A - B + 2C = 0 \quad (2) $$
联立 (1) 和 (2)： $$ \begin{cases} 6A - 3B + 2C = 0 \\ 4A - B + 2C = 0 \end{cases} $$ 两式相减得： $$ (6A - 3B + 2C) - (4A - B + 2C) = 0 \implies 2A - 2B = 0 \implies A = B $$
代入 (2)： $$ 4A - A + 2C = 0 \implies 3A + 2C = 0 \implies C = -\frac{3}{2}A $$
取 $A = 2$（避免分数），则 $B = 2$，$C = -3$。 因此平面方程为 $$ 2x + 2y - 3z = 0 $$
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设所求平面方程
设所求平面方程为 Ax + By + Cz + D = 0。由于平面过原点，代入 (0,0,0) 得 D=0，方程简化为 Ax + By + Cz = 0。
公式：平面方程一般式：Ax+By+Cz+D=0
提示：过原点的平面常数项为0。
步骤 2/5
目标：利用过点条件
平面过点 (6,-3,2)，代入方程得 6A - 3B + 2C = 0。
提示：代入点坐标得到关于A,B,C的方程。
步骤 3/5
目标：利用垂直条件
所求平面与平面 4x - y + 2z = 8 垂直，两平面法向量点积为0。已知平面法向量为 (4,-1,2)，所求平面法向量为 (A,B,C)，故 4A - B + 2C = 0。
公式：两平面垂直条件：n1·n2=0
提示：法向量点积为零。
步骤 4/5
目标：联立方程求解
联立方程：6A - 3B + 2C = 0 和 4A - B + 2C = 0。两式相减得 2A - 2B = 0，即 A = B。代入第二个方程得 4A - A + 2C = 0，即 3A + 2C = 0，解得 C = -3A/2。
提示：选择非零参数简化，如取A=2，则B=2，C=-3。
步骤 5/5
目标：写出平面方程
取 A=2, B=2, C=-3，得平面方程为 2x + 2y - 3z = 0。
提示：最终方程可乘以非零常数，但通常取整数且最简。
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