人邮高数 第5章 第5-3-11题
📝 题目
11．已知直线过点 $A(2,-3,4)$ 且和 $y$ 轴垂直相交，求该直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知直线过点 $A(2,-3,4)$，且与 $y$ 轴垂直相交。 首先明确“与 $y$ 轴垂直相交”的含义：该直线与 $y$ 轴相交，且互相垂直。 $y$ 轴的方向向量为 $\vec{j}=(0,1,0)$，且 $y$ 轴上的任意点坐标为 $(0,t,0)$。
设该直线与 $y$ 轴的交点为 $B(0,b,0)$。 由于点 $A(2,-3,4)$ 也在该直线上，因此直线的方向向量为 $$ \overrightarrow{AB} = (0-2,\; b-(-3),\; 0-4) = (-2,\; b+3,\; -4). $$ 直线与 $y$ 轴垂直，即方向向量与 $\vec{j}=(0,1,0)$ 垂直，因此数量积为 0： $$ (-2)\cdot 0 + (b+3)\cdot 1 + (-4)\cdot 0 = 0, $$ 即 $$ b+3 = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -3. $$ 所以交点为 $B(0,-3,0)$，方向向量为 $$ \overrightarrow{AB} = (-2, 0, -4). $$ 可简化为方向向量 $\vec{s} = (1,0,2)$（同方向，取比例因子 $-1/2$）。
因此直线的对称式方程为 $$ \frac{x-0}{1} = \frac{y+3}{0} = \frac{z-0}{2}, $$ 注意分母为 0 表示 $y$ 恒等于 $-3$，所以也可写为参数方程： $$ \begin{cases} x = t, \\ y = -3, \\ z = 2t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}. $$ 或用点向式表达为 $$ \frac{x}{1} = \frac{z}{2},\quad y = -3. $$
难度：★★☆☆☆