人邮高数 第5章 第5-3-12题
📝 题目
12．求过点 $(0,2,4)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 z=1 \text { ，平行的直线．} \\ y-3 z=2\end{array}\right.$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知直线由方程组 $$ \begin{cases} x + 2z = 1, \\ y - 3z = 2 \end{cases} $$ 给出，可将其化为对称式方程。 将 $z$ 视为参数 $t$，则 $$ x = 1 - 2t,\quad y = 2 + 3t,\quad z = t. $$ 所以直线的方向向量为 $$ \vec{s} = (-2,\; 3,\; 1). $$
所求直线过点 $(0,2,4)$，且与已知直线平行，故方向向量相同，因此其对称式方程为 $$ \frac{x - 0}{-2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{1}. $$ 也可写作参数方程： $$ \begin{cases} x = -2t, \\ y = 2 + 3t, \\ z = 4 + t. \end{cases} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将已知直线化为参数方程
将z视为参数t，由方程组x+2z=1得x=1-2t；由y-3z=2得y=2+3t；z=t。
提示：选择z作为参数是因为方程中z的系数简单。
步骤 2/4
目标：确定已知直线的方向向量
从参数方程得到方向向量为(-2, 3, 1)。
提示：方向向量由参数t的系数组成。
步骤 3/4
目标：写出所求直线的对称式方程
所求直线过点(0,2,4)且与已知直线平行，故方向向量相同，对称式方程为(x-0)/(-2) = (y-2)/3 = (z-4)/1。
提示：对称式方程的分母是方向向量的分量。
步骤 4/4
目标：写出所求直线的参数方程
令对称式等于t，得参数方程：x=-2t, y=2+3t, z=4+t。
提示：参数方程与对称式等价。
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