人邮高数 第6章 第6-4-17题
📝 题目
17．求椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=12$ 的内接等腰三角形（三角形底边平行于椭圆长轴）的最大面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求椭圆 $$ x^{2}+3y^{2}=12 $$ 的内接等腰三角形面积最大值，且底边平行于椭圆的长轴。
首先将椭圆化为标准形式： $$ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1 $$ 所以长轴在 $x$ 轴上，半长轴 $a=2\sqrt{3}$，半短轴 $b=2$。
由于底边平行于长轴，可设底边两端点坐标为 $$ A(-x_0, y_0),\quad B(x_0, y_0) $$ 其中 $y_0<0$（底边在下半椭圆），且满足椭圆方程 $$ x_0^{2}+3y_0^{2}=12 $$ 顶点 $C$ 在椭圆上且位于底边的中垂线上，即 $x=0$ 处，因此设 $$ C(0, y_1),\quad y_1>0 $$ 且满足 $$ 0+3y_1^{2}=12 \quad\Rightarrow\quad y_1=2 $$ （因为顶点在上半椭圆，取正）。
于是三角形底边长： $$ 2|x_0| $$ 高为： $$ y_1 - y_0 = 2 - y_0 $$ 面积公式： $$ S = \frac{1}{2} \cdot (2|x_0|) \cdot (2-y_0) = |x_0|(2-y_0) $$ 由椭圆方程得 $$ x_0^{2}=12-3y_0^{2} $$ 所以 $$ S(y_0) = \sqrt{12-3y_0^{2}}\,(2-y_0),\quad y_0\in[-2,0] $$
为求最大值，考虑平方简化： $$ f(y_0)=S^{2}=(12-3y_0^{2})(2-y_0)^{2} $$ 令 $t=y_0$，求导： $$ f'(t) = -6t(2-t)^{2} + (12-3t^{2})\cdot 2(2-t)(-1) $$ 提取公因式 $(2-t)$： $$ f'(t) = (2-t)\left[-6t(2-t) -2(12-3t^{2})\right] $$ 化简括号内： $$ -6t(2-t) = -12t+6t^{2} $$ $$ -2(12-3t^{2}) = -24+6t^{2} $$ 相加得： $$ -12t+6t^{2} -24+6t^{2} = 12t^{2} -12t -24 = 12(t^{2}-t-2)=12(t-2)(t+1) $$ 因此 $$ f'(t) = 12(2-t)(t-2)(t+1) = -12(2-t)^{2}(t+1) $$ 由于 $t\in[-2,0]$，$(2-t)^{2}>0$，所以导数的符号由 $-(t+1)$ 决定： - 当 $t<-1$ 时，$f'(t)>0$，函数递增 - 当 $t>-1$ 时，$f'(t)<0$，函数递减 故最大值在 $t=-1$ 处取得，即 $y_0=-1$。
此时 $$ x_0^{2}=12-3=9 \quad\Rightarrow\quad |x_0|=3 $$ 面积 $$ S_{\max}=3\cdot(2-(-1))=9 $$
因此最大面积为 $$ \boxed{9} $$
难度评级：★★★☆☆