人邮高数 第6章 第6-4-18题
📝 题目
18．求旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $x+y-z=1$ 之间的最短距离．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ 与平面 $x + y - z = 1$ 之间的最短距离。 由于平面是无限延伸的，抛物面也是光滑曲面，最短距离应出现在某点处，该点处抛物面的切平面平行于给定平面，并且该点到平面的距离即为所求。
**第一步：转化为条件极值问题** 空间一点 $(x, y, z)$ 到平面 $x + y - z - 1 = 0$ 的距离公式为 $$ d = \frac{|x + y - z - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|x + y - z - 1|}{\sqrt{3}}. $$ 由于抛物面上 $z = x^2 + y^2$，代入得 $$ d = \frac{|x + y - x^2 - y^2 - 1|}{\sqrt{3}}. $$ 我们要求这个绝对值表达式的最小值，等价于求函数 $$ f(x, y) = x + y - x^2 - y^2 - 1 $$ 的绝对值的最小值。由于抛物面开口向上，平面斜切，两者之间应存在有限最短距离，且该点处 $x + y - x^2 - y^2 - 1$ 应为负值（可验证），因此可去掉绝对值，求 $$ F(x, y) = - (x + y - x^2 - y^2 - 1) = x^2 + y^2 - x - y + 1 $$ 的最小值，因为距离公式中取绝对值后最小等价于这个正数的最小值。
**第二步：求二元函数最小值** $$ F(x, y) = x^2 - x + y^2 - y + 1. $$ 分别配方： $$ x^2 - x = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac14, $$ $$ y^2 - y = \left(y - \frac12\right)^2 - \frac14. $$ 因此 $$ F(x, y) = \left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 + 1 - \frac12 = \left(x - \frac12\right)^2 + \left(y - \frac12\right)^2 + \frac12. $$ 显然当 $x = \frac12,\ y = \frac12$ 时，$F$ 取最小值 $\frac12$。
**第三步：计算最短距离** 此时 $$ d_{\min} = \frac{F_{\min}}{\sqrt{3}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}. $$ 对应的抛物面上的点为 $\left(\frac12, \frac12, \frac12\right)$，平面上的垂足也可求，但非必需。
因此最短距离为 $$ \boxed{\frac{\sqrt{3}}{6}}. $$
难度：★★☆☆☆