人邮高数 第7章 第7-2-4题

[AI解答]

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我们计算三重积分 $$ I = \displaystyle{\iiint}_{\Omega} (x+y+z) \, \mathrm{d}v $$ 其中区域 $\Omega$ 是由平面 $$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \quad (a>0, b>0, c>0) $$ 以及三个坐标面 $x=0, y=0, z=0$ 所围成的四面体。

**第一步：确定积分区域** 该四面体在 $x$ 方向的范围是从 $0$ 到 $a$；对于固定的 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $b\left(1-\frac{x}{a}\right)$；对于固定的 $x,y$，$z$ 从 $0$ 到 $c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)$。 因此积分可写为 $$ I = \int_{x=0}^{a} \int_{y=0}^{b\left(1-\frac{x}{a}\right)} \int_{z=0}^{c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)} (x+y+z) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x. $$

**第二步：先对 $z$ 积分** $$ \int_{z=0}^{c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)} (x+y+z) \, \mathrm{d}z = (x+y) \cdot c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right) + \frac{1}{2} \left[ c\left(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right) \right]^2. $$ 记 $t = 1-\frac{x}{a}-\frac{y}{b}$，则上式等于 $$ c(x+y)t + \frac{c^2}{2} t^2. $$

**第三步：对 $y$ 积分** 此时 $x$ 固定，$y$ 从 $0$ 到 $b\left(1-\frac{x}{a}\right)$，令 $u = 1-\frac{x}{a}$，则 $y$ 上限为 $b u$，且 $$ t = u - \frac{y}{b}. $$ 于是内层关于 $y$ 的积分为 $$ \int_{y=0}^{b u} \left[ c(x+y)t + \frac{c^2}{2} t^2 \right] \mathrm{d}y. $$ 作变量替换 $y = b u s$，则 $t = u(1-s)$，$\mathrm{d}y = b u \, \mathrm{d}s$，$s$ 从 $0$ 到 $1$。 积分变为 $$ \int_{s=0}^{1} \left[ c(x + b u s) \cdot u(1-s) + \frac{c^2}{2} u^2 (1-s)^2 \right] b u \, \mathrm{d}s. $$ 注意 $x = a(1-u)$，所以 $x + b u s = a(1-u) + b u s$。 展开并逐项积分（利用 $\int_0^1 (1-s) \mathrm{d}s = \frac12$，$\int_0^1 s(1-s) \mathrm{d}s = \frac16$，$\int_0^1 (1-s)^2 \mathrm{d}s = \frac13$），得到 $$ = b u \left[ c a(1-u) u \cdot \frac12 + c b u^2 \cdot \frac16 + \frac{c^2}{2} u^2 \cdot \frac13 \right]. $$ 整理为 $$ = b c a \frac12 u^2 (1-u) + b c b \frac16 u^3 + b \frac{c^2}{2} \cdot \frac13 u^3. $$ 即 $$ = \frac{abc}{2} u^2 (1-u) + \frac{b^2 c}{6} u^3 + \frac{b c^2}{6} u^3. $$

**第四步：对 $x$ 积分** 由于 $u = 1 - \frac{x}{a}$，当 $x$ 从 $0$ 到 $a$ 时，$u$ 从 $1$ 到 $0$，且 $\mathrm{d}x = -a \mathrm{d}u$，于是 $$ I = \int_{u=1}^{0} \left[ \frac{abc}{2} u^2 (1-u) + \frac{b c}{6} (b+c) u^3 \right] (-a \mathrm{d}u) = a \int_{0}^{1} \left[ \frac{abc}{2} u^2 (1-u) + \frac{b c}{6} (b+c) u^3 \right] \mathrm{d}u. $$ 分别积分： $$ \int_0^1 u^2 (1-u) \mathrm{d}u = \int_0^1 (u^2 - u^3) \mathrm{d}u = \frac13 - \frac14 = \frac{1}{12}, $$ $$ \int_0^1 u^3 \mathrm{d}u = \frac14. $$ 因此 $$ I = a \left[ \frac{abc}{2} \cdot \frac{1}{12} + \frac{b c}{6} (b+c) \cdot \frac14 \right] = a \left[ \frac{abc}{24} + \frac{b c (b+c)}{24} \right] = \frac{abc}{24} (a + b + c). $$

**最终结果** $$ \boxed{I = \dfrac{abc}{24}(a+b+c)} $$

**难度评级**：★★☆☆☆ （属于常规三重积分计算，区域为四面体，步骤清晰但需细心处理变量替换和多项式积分。）