人邮高数 第7章 第7-2-5题

教材习题

📝 题目

5．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 所围成。

💡 答案解析

[AI解答]

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我们计算三重积分 $$ I = \displaystyle{\iiint}_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, \mathrm{d}v, $$ 其中区域 $\Omega$ 是由椭球面 $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 $$ 所围成的椭球体。

**第一步：变量替换（广义球坐标）** 令 $$ x = a\,u,\quad y = b\,v,\quad z = c\,w, $$ 则椭球 $\Omega$ 变为单位球体 $$ u^2 + v^2 + w^2 \le 1. $$ 此变换的雅可比行列式为 $$ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = abc. $$ 于是积分变为 $$ I = \displaystyle{\iiint}_{u^2+v^2+w^2 \le 1} \big( a^2 u^2 + b^2 v^2 + c^2 w^2 \big) \cdot abc \; \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w. $$

**第二步：利用球坐标计算单位球上的积分** 在单位球上采用球坐标： $$ u = r\sin\theta\cos\varphi,\quad v = r\sin\theta\sin\varphi,\quad w = r\cos\theta, $$ 其中 $0 \le r \le 1,\; 0 \le \theta \le \pi,\; 0 \le \varphi \le 2\pi$，体积元为 $$ \mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w = r^2 \sin\theta \; \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. $$ 于是 $$ I = abc \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \big( a^2 r^2\sin^2\theta\cos^2\varphi + b^2 r^2\sin^2\theta\sin^2\varphi + c^2 r^2\cos^2\theta \big) r^2 \sin\theta \; \mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. $$

**第三步：分离变量并积分** 先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{1} r^4 \, \mathrm{d}r = \frac{1}{5}. $$ 于是 $$ I = \frac{abc}{5} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \big( a^2 \sin^2\theta\cos^2\varphi + b^2 \sin^2\theta\sin^2\varphi + c^2 \cos^2\theta \big) \sin\theta \; \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi. $$

**第四步：分别计算三个部分**

- 第一项： $$ a^2 \int_{0}^{2\pi} \cos^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta. $$ 已知 $$ \int_{0}^{2\pi} \cos^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \pi, $$ $$ \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi} (1-\cos^2\theta)\sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}. $$ 所以第一项贡献为 $$ a^2 \cdot \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi a^2}{3}. $$

- 第二项： $$ b^2 \int_{0}^{2\pi} \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \sin^3\theta \, \mathrm{d}\theta, $$ 其中 $$ \int_{0}^{2\pi} \sin^2\varphi \, \mathrm{d}\varphi = \pi, $$ 所以第二项贡献为 $$ \frac{4\pi b^2}{3}. $$

- 第三项： $$ c^2 \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta. $$ 其中 $$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\varphi = 2\pi, $$ $$ \int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{2}{3}. $$ 所以第三项贡献为 $$ c^2 \cdot 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi c^2}{3}. $$

**第五步：合并结果** 三项相加得 $$ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (\cdots) \sin\theta \, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = \frac{4\pi}{3}(a^2 + b^2 + c^2). $$ 因此 $$ I = \frac{abc}{5} \cdot \frac{4\pi}{3}(a^2 + b^2 + c^2) = \frac{4\pi abc}{15}(a^2 + b^2 + c^2). $$

最终结果为 $$ \boxed{I = \frac{4\pi abc}{15}(a^2 + b^2 + c^2)}. $$

难度：★★★☆☆ （需要掌握广义球坐标变换、三重积分变量替换及球坐标下的计算技巧）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：变量替换（广义球坐标）
令 x = a u, y = b v, z = c w，则椭球 Ω 变为单位球体 u^2+v^2+w^2 ≤ 1。雅可比行列式为 abc，积分变为 I = ∭_{u^2+v^2+w^2≤1} (a^2 u^2 + b^2 v^2 + c^2 w^2) abc du dv dw。
公式：x = a u, y = b v, z = c w; J = abc
提示：广义球坐标将椭球映射为单位球，简化积分区域。
步骤 2/5
目标：利用球坐标计算单位球上的积分
在单位球上采用球坐标：u = r sinθ cosφ, v = r sinθ sinφ, w = r cosθ，其中 0≤r≤1, 0≤θ≤π, 0≤φ≤2π，体积元 du dv dw = r^2 sinθ dr dθ dφ。代入得 I = abc ∫_0^{2π}∫_0^π∫_0^1 (a^2 r^2 sin^2θ cos^2φ + b^2 r^2 sin^2θ sin^2φ + c^2 r^2 cos^2θ) r^2 sinθ dr dθ dφ。
公式：u = r sinθ cosφ, v = r sinθ sinφ, w = r cosθ; du dv dw = r^2 sinθ dr dθ dφ
提示：球坐标适合球对称区域，注意积分限。
步骤 3/5
目标：分离变量并积分
先对 r 积分：∫_0^1 r^4 dr = 1/5。于是 I = (abc/5) ∫_0^{2π}∫_0^π (a^2 sin^2θ cos^2φ + b^2 sin^2θ sin^2φ + c^2 cos^2θ) sinθ dθ dφ。
公式：∫_0^1 r^4 dr = 1/5
提示：r 积分独立，提取因子。
步骤 4/5
目标：分别计算三个部分
第一项：a^2 ∫_0^{2π} cos^2φ dφ ∫_0^π sin^3θ dθ = a^2 * π * (4/3) = 4πa^2/3。第二项：b^2 ∫_0^{2π} sin^2φ dφ ∫_0^π sin^3θ dθ = b^2 * π * (4/3) = 4πb^2/3。第三项：c^2 ∫_0^{2π} dφ ∫_0^π cos^2θ sinθ dθ = c^2 * 2π * (2/3) = 4πc^2/3。
公式：∫_0^{2π} cos^2φ dφ = π, ∫_0^{2π} sin^2φ dφ = π, ∫_0^π sin^3θ dθ = 4/3, ∫_0^π cos^2θ sinθ dθ = 2/3
提示：利用三角函数的正交性和对称性简化积分。
步骤 5/5
目标：合并结果
三项相加得 ∫_0^{2π}∫_0^π (…) sinθ dθ dφ = (4π/3)(a^2+b^2+c^2)。因此 I = (abc/5) * (4π/3)(a^2+b^2+c^2) = (4πabc/15)(a^2+b^2+c^2)。
公式：I = (4πabc/15)(a^2+b^2+c^2)
提示：最终结果简洁，注意系数。

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