人邮高数 第7章 第7-2-7题

教材习题

📝 题目

7．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega}(x+y+z) \mathrm{d} v$ ，其中区域 $\Omega$ 由球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 及旋转抛物面 $x^{2}+y^{2}=3 z$ 所围成．

💡 答案解析

[AI解答]

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**步骤1：确定积分区域**

区域 $\Omega$ 由上半球面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 和旋转抛物面 $x^2 + y^2 = 3z$ 围成。 两曲面交线满足： $$ x^2 + y^2 = 3z,\quad z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} $$ 将 $x^2 + y^2 = r^2$ 代入，得： $$ r^2 = 3z,\quad z = \sqrt{4 - r^2} $$ 于是： $$ \sqrt{4 - r^2} = \frac{r^2}{3} $$ 两边平方： $$ 4 - r^2 = \frac{r^4}{9} \quad\Rightarrow\quad r^4 + 9r^2 - 36 = 0 $$ 令 $u = r^2$，则： $$ u^2 + 9u - 36 = 0 \quad\Rightarrow\quad u = \frac{-9 + \sqrt{81 + 144}}{2} = \frac{-9 + 15}{2} = 3 $$ 所以 $r^2 = 3$，即 $r = \sqrt{3}$，对应 $z = 1$。 因此区域在 $xy$ 平面投影为圆盘 $D: x^2 + y^2 \le 3$，且 $z$ 从抛物面到球面： $$ \frac{r^2}{3} \le z \le \sqrt{4 - r^2} $$

**步骤2：采用柱坐标计算**

令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$，体积元 $\mathrm{d}v = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$，被积函数： $$ x + y + z = r\cos\theta + r\sin\theta + z $$ 积分： $$ I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{3}} \int_{z=\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} (r\cos\theta + r\sin\theta + z)\, r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$

**步骤3：先对 $z$ 积分**

对于固定的 $r,\theta$： $$ \int_{z=\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} (r\cos\theta + r\sin\theta + z)\,\mathrm{d}z $$ 先分离： $$ = (r\cos\theta + r\sin\theta) \cdot \left( \sqrt{4-r^2} - \frac{r^2}{3} \right) + \int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} z\,\mathrm{d}z $$ 而： $$ \int_{\frac{r^2}{3}}^{\sqrt{4-r^2}} z\,\mathrm{d}z = \frac{1}{2} \left[ (4 - r^2) - \frac{r^4}{9} \right] $$ 所以对 $z$ 积分结果为： $$ (r\cos\theta + r\sin\theta)\left( \sqrt{4-r^2} - \frac{r^2}{3} \right) + \frac{1}{2}\left(4 - r^2 - \frac{r^4}{9}\right) $$

**步骤4：再对 $\theta$ 积分**

由于： $$ \int_{0}^{2\pi} \cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0,\quad \int_{0}^{2\pi} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 0 $$ 所以含 $\cos\theta,\sin\theta$ 的项积分为零，只剩下常数项： $$ I = \int_{r=0}^{\sqrt{3}} \left[ \frac{1}{2}\left(4 - r^2 - \frac{r^4}{9}\right) \cdot 2\pi \right] r\,\mathrm{d}r $$ 即： $$ I = \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} \left(4r - r^3 - \frac{r^5}{9}\right) \mathrm{d}r $$

**步骤5：对 $r$ 积分**

计算： $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} 4r\,\mathrm{d}r = 2r^2 \Big|_{0}^{\sqrt{3}} = 2\cdot 3 = 6 $$ $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} r^3\,\mathrm{d}r = \frac{r^4}{4}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{9}{4} $$ $$ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{r^5}{9}\,\mathrm{d}r = \frac{1}{9}\cdot\frac{r^6}{6}\Big|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{1}{54} \cdot 27 = \frac{1}{2} $$ 所以： $$ I = \pi \left(6 - \frac{9}{4} - \frac{1}{2}\right) = \pi \left(6 - \frac{9}{4} - \frac{2}{4}\right) = \pi \left(6 - \frac{11}{4}\right) = \pi \cdot \frac{24 - 11}{4} = \frac{13\pi}{4} $$

**最终结果：** $$ \boxed{\dfrac{13\pi}{4}} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：确定积分区域
区域Ω由上半球面z=√(4-x²-y²)和旋转抛物面x²+y²=3z围成。求交线：将x²+y²=r²代入得r²=3z和z=√(4-r²)，联立得√(4-r²)=r²/3，平方得4-r²=r⁴/9，即r⁴+9r²-36=0，解得r²=3，r=√3，z=1。因此Ω在xy平面投影为圆盘D: x²+y²≤3，z从抛物面到球面：r²/3 ≤ z ≤ √(4-r²)。
公式：r²=3z, z=√(4-r²)
提示：注意交线处z=1，r=√3。
步骤 2/5
目标：采用柱坐标计算
令x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，体积元dv=r dr dθ dz，被积函数x+y+z=r cosθ+r sinθ+z。积分I=∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{√3} ∫_{z=r²/3}^{√(4-r²)} (r cosθ+r sinθ+z) r dz dr dθ。
公式：I=∫∫∫ (r cosθ+r sinθ+z) r dz dr dθ
提示：柱坐标下r≥0，θ∈[0,2π]。
步骤 3/5
目标：先对z积分
固定r,θ，积分∫_{z=r²/3}^{√(4-r²)} (r cosθ+r sinθ+z) dz = (r cosθ+r sinθ)(√(4-r²)-r²/3) + ½[(4-r²)-r⁴/9]。
公式：∫ z dz = ½ z²
提示：分离常数项和z项。
步骤 4/5
目标：再对θ积分
∫₀²π cosθ dθ=0，∫₀²π sinθ dθ=0，所以含cosθ, sinθ的项积分为零。剩下常数项：I=∫_{r=0}^{√3} [½(4-r²-r⁴/9)·2π] r dr = π∫₀^{√3} (4r - r³ - r⁵/9) dr。
公式：∫₀²π dθ=2π
提示：利用三角函数的正交性简化。
步骤 5/5
目标：对r积分
计算∫₀^{√3} 4r dr = 2r²|₀^{√3}=6；∫₀^{√3} r³ dr = r⁴/4|₀^{√3}=9/4；∫₀^{√3} r⁵/9 dr = (1/9)(r⁶/6)|₀^{√3}=1/54·27=1/2。所以I=π(6 - 9/4 - 1/2)=π(6 - 11/4)=π·13/4=13π/4。
公式：∫ r^n dr = r^{n+1}/(n+1)
提示：注意积分限从0到√3。

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