人邮高数 第7章 第7-2-8题
📝 题目
8．计算三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} x^{4} y^{2} z^{3} \mathrm{~d} v$ ，其中区域 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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本题计算三重积分 $$ I = \displaystyle{\iiint}_{\Omega} x^{4} y^{2} z^{3} \, \mathrm{d}v, $$ 其中 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}$，即半径为 $R$ 的球体。
由于被积函数 $x^{4} y^{2} z^{3}$ 关于 $z$ 是奇函数（因为 $z^3$ 是奇函数，而 $x^4 y^2$ 是偶函数），而积分区域关于平面 $z=0$ 对称，因此积分值为零。 更具体地说，对任意固定的 $x,y$，当 $z$ 从 $-\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ 到 $\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ 积分时，被积函数中 $z^3$ 是奇函数，所以该部分积分为零。
因此， $$ I = 0. $$
难度评级：★☆☆☆☆ （利用对称性直接得出结果，无需复杂计算）
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析被积函数和积分区域的对称性
被积函数为 x^4 y^2 z^3，其中 z^3 是奇函数，而 x^4 y^2 是偶函数。积分区域 Ω 是球体 x^2+y^2+z^2 ≤ R^2，关于平面 z=0 对称。
提示：注意奇偶性：若 f(x,y,-z) = -f(x,y,z)，则 f 关于 z 是奇函数。
步骤 2/2
目标：应用对称性结论
由于积分区域关于 z=0 对称，且被积函数关于 z 是奇函数，因此三重积分值为零。
公式：∭_Ω f(x,y,z) dV = 0 当 f 关于 z 为奇且 Ω 关于 z=0 对称
提示：无需计算具体积分，直接利用对称性得出结果。
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