同济高数 第7章 第7-7-6题
📝 题目
6．设圆柱形浮筒的底面直径为 0.5 m ，将它铅直放在水中，
当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为 2 s ，求浮筒的质量．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，分析浮筒的振动模型。浮筒铅直放在水中，受到重力和浮力的作用。当它偏离平衡位置时，浮力变化产生回复力，使其做简谐振动。
设浮筒的质量为 $ m $，底面直径 $ d = 0.5 \, \text{m} $，则底面积 $$ S = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{0.5}{2} \right)^2 = \pi \times (0.25)^2 = \frac{\pi}{16} \, \text{m}^2. $$
水的密度取 $ \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 $，重力加速度 $ g = 9.8 \, \text{m/s}^2 $。
当浮筒从平衡位置向下位移 $ x $（向上为正）时，浮力的变化量为 $$ \Delta F = -\rho g S x, $$ 负号表示浮力方向与位移方向相反。因此，回复力为 $$ F = -\rho g S x. $$
由牛顿第二定律： $$ m \frac{d^2 x}{dt^2} = -\rho g S x, $$ 即 $$ \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{\rho g S}{m} x = 0. $$
这是简谐振动方程，角频率 $$ \omega = \sqrt{\frac{\rho g S}{m}}. $$
振动周期 $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}. $$
已知周期 $ T = 2 \, \text{s} $，代入上式： $$ 2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}. $$
两边除以 $ 2\pi $： $$ \frac{1}{\pi} = \sqrt{\frac{m}{\rho g S}}. $$
两边平方： $$ \frac{1}{\pi^2} = \frac{m}{\rho g S}. $$
因此 $$ m = \frac{\rho g S}{\pi^2}. $$
代入数值： $$ S = \frac{\pi}{16}, \quad \rho = 1000, \quad g = 9.8, $$ 得 $$ m = \frac{1000 \times 9.8 \times \frac{\pi}{16}}{\pi^2} = \frac{1000 \times 9.8}{16\pi}. $$
计算： $$ m = \frac{9800}{16\pi} = \frac{612.5}{\pi} \approx 195.0 \, \text{kg}. $$
因此，浮筒的质量约为 $ 195 \, \text{kg} $。
难度：★★☆☆☆