同济高数 第7章 第7-7-5题

[AI解答]

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这是一个RLC串联电路，开关先接A，电容充电至稳态电压 $E$，然后开关拨向B，形成RLC放电回路。 已知： $E = 20\,\mathrm{V}$， $C = 0.5\times 10^{-6}\,\mathrm{F}$， $L = 0.1\,\mathrm{H}$， $R = 2000\,\Omega$。

**第一步：确定电路参数与放电类型**

先计算特征参数： $$ \alpha = \frac{R}{2L} = \frac{2000}{2\times 0.1} = 10000\ \mathrm{s^{-1}} $$ $$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 0.5\times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{5\times 10^{-8}}} = \frac{1}{\sqrt{5}\times 10^{-4}} = \frac{10^4}{\sqrt{5}} \approx 4472.1\ \mathrm{rad/s} $$

比较 $\alpha$ 与 $\omega_0$： $$ \alpha > \omega_0 $$ 因此电路为**过阻尼**情况。

**第二步：写出微分方程与通解形式**

开关拨向B后，回路方程为： $$ L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + Ri + u_C = 0 $$ 且 $i = C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$，代入得： $$ LC\frac{\mathrm{d}^2 u_C}{\mathrm{d}t^2} + RC\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} + u_C = 0 $$ 特征方程： $$ LC s^2 + RC s + 1 = 0 $$ 代入数值： $$ 0.1\times 0.5\times 10^{-6} s^2 + 2000\times 0.5\times 10^{-6} s + 1 = 0 $$ 即： $$ 5\times 10^{-8} s^2 + 1\times 10^{-3} s + 1 = 0 $$ 乘以 $10^8$： $$ 5 s^2 + 10^5 s + 10^8 = 0 $$ 解： $$ s_{1,2} = \frac{-10^5 \pm \sqrt{10^{10} - 20\times 10^8}}{10} = \frac{-10^5 \pm \sqrt{10^{10} - 2\times 10^9}}{10} = \frac{-10^5 \pm \sqrt{8\times 10^9}}{10} $$ $$ \sqrt{8\times 10^9} = \sqrt{8}\times 10^{4.5} = 2\sqrt{2}\times 10^{4.5} $$ 更精确： $$ \sqrt{8\times 10^9} = \sqrt{8}\times 10^{4.5} = 2\sqrt{2}\times 31622.7766 \approx 89442.7 $$ 因此： $$ s_1 = \frac{-100000 + 89442.7}{10} \approx -1055.73 $$ $$ s_2 = \frac{-100000 - 89442.7}{10} \approx -18944.27 $$

**第三步：利用初始条件确定常数**

初始条件： $t=0$时，$u_C(0^+) = E = 20\,\mathrm{V}$， 且电感电流不能突变，开关拨向B瞬间 $i(0^+) = 0$，即： $$ \left.\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0^+} = \frac{i(0^+)}{C} = 0 $$

通解： $$ u_C(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} $$ 由 $u_C(0) = 20$： $$ A_1 + A_2 = 20 $$ 由导数条件： $$ s_1 A_1 + s_2 A_2 = 0 $$ 解得： $$ A_2 = - \frac{s_1}{s_2} A_1 $$ 代入第一式： $$ A_1 - \frac{s_1}{s_2} A_1 = 20 $$ $$ A_1\left(1 - \frac{s_1}{s_2}\right) = 20 $$ $$ A_1 = \frac{20}{1 - \frac{s_1}{s_2}} = \frac{20 s_2}{s_2 - s_1} $$ 代入数值： $$ s_2 - s_1 \approx -18944.27 + 1055.73 = -17888.54 $$ $$ A_1 = \frac{20 \times (-18944.27)}{-17888.54} \approx \frac{-378885.4}{-17888.54} \approx 21.18 $$ $$ A_2 = 20 - A_1 \approx -1.18 $$

**第四步：写出电压与电流表达式**

电压： $$ u_C(t) \approx 21.18 e^{-1055.73 t} - 1.18 e^{-18944.27 t} \quad (\mathrm{V}) $$

电流： $$ i(t) = C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t} = 0.5\times 10^{-6} \left(21.18 \times (-1055.73) e^{-1055.73 t} - 1.18 \times (-18944.27) e^{-18944.27 t}\right) $$ 计算系数： $$ 21.18 \times (-1055.73) \approx -22360.5 $$ $$ -1.18 \times (-18944.27) \approx 22354.2 $$ 因此： $$ i(t) = 0.5\times 10^{-6} \left( -22360.5 e^{-1055.73 t} + 22354.2 e^{-18944.27 t} \right) $$ $$ i(t) \approx -0.01118 e^{-1055.73 t} + 0.011177 e^{-18944.27 t} \quad (\mathrm{A}) $$

**最终答案：** $$ \boxed{u_C(t) \approx 21.18 e^{-1055.73 t} - 1.18 e^{-18944.27 t}\ \mathrm{V}} $$ $$ \boxed{i(t) \approx -0.01118 e^{-1055.73 t} + 0.01118 e^{-18944.27 t}\ \mathrm{A}} $$

难度：★★☆☆☆ （涉及二阶电路过阻尼求解，计算稍繁，但思路固定，属中等偏易）