同济高数 第12章 第12-7-5题

[AI解答]

[AI解答] 要将函数 $ f(x) = \frac{\pi - x}{2} $ 在区间 $[0, \pi]$ 上展开为正弦级数，我们考虑对其进行奇延拓，然后展开为傅里叶正弦级数。 正弦级数的形式为：

$$ f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) $$

其中系数公式为：

$$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx $$

代入 $ f(x) $：

$$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{\pi - x}{2} \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin(nx) \, dx $$

将积分拆开：

$$ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \pi \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx - \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \right] $$

先计算第一个积分：

$$ \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx = \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{1}{n} = \frac{1 - (-1)^n}{n} $$

再计算第二个积分，使用分部积分法：

令 $ u = x $，$ dv = \sin(nx) dx $，则 $ du = dx $，$ v = -\frac{\cos(nx)}{n} $

$$ \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx $$

代入上下限：

$$ = -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} + 0 + \frac{1}{n} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\pi (-1)^n}{n} + \frac{1}{n^2} (0 - 0) = -\frac{\pi (-1)^n}{n} $$

因此：

$$ b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \pi \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n} - \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) \right] = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\pi(1 - (-1)^n)}{n} + \frac{\pi (-1)^n}{n} \right] = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} = \frac{1}{n} $$

所以：

$$ b_n = \frac{1}{n} $$

于是正弦级数展开为：

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin(nx), \quad 0 < x < \pi $$

在端点 $x=0$ 和 $x=\pi$ 处，级数收敛到 0（因为奇延拓后函数在端点处为0）。

最终结果：

$$ \boxed{\frac{\pi - x}{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}, \quad 0 < x < \pi} $$

难度：★★☆☆☆