同济高数 第12章 第12-7-6题

教材习题

📝 题目

6．将函数 $f(x)=2 x^{2}(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 分别展开成正弦级数和余弦级数．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们先将函数 $ f(x) = 2x^2 $ 定义在区间 $[0, \pi]$ 上，然后分别作奇延拓与偶延拓，得到傅里叶级数中的正弦级数和余弦级数。

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### 一、展开成正弦级数（奇延拓）

对 $ f(x) $ 在 $[0, \pi]$ 上作奇延拓，则傅里叶系数为 $$ a_n = 0,\quad b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx $$ 代入 $ f(x) = 2x^2 $： $$ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2x^2 \sin(nx) \, dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx $$

计算积分： $$ \int x^2 \sin(nx) \, dx = -\frac{x^2}{n} \cos(nx) + \frac{2}{n} \int x \cos(nx) \, dx $$ 而 $$ \int x \cos(nx) \, dx = \frac{x}{n} \sin(nx) + \frac{1}{n^2} \cos(nx) $$ 因此 $$ \int x^2 \sin(nx) \, dx = -\frac{x^2}{n} \cos(nx) + \frac{2x}{n^2} \sin(nx) + \frac{2}{n^3} \cos(nx) $$

代入上下限 $0$ 到 $\pi$： - 当 $x = \pi$： $\sin(n\pi) = 0$，$\cos(n\pi) = (-1)^n$，得 $$ -\frac{\pi^2}{n}(-1)^n + \frac{2}{n^3}(-1)^n $$ - 当 $x = 0$： $\sin 0 = 0$，$\cos 0 = 1$，得 $$ 0 + \frac{2}{n^3} $$

所以定积分为： $$ \int_{0}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx = \left( -\frac{\pi^2}{n}(-1)^n + \frac{2}{n^3}(-1)^n \right) - \frac{2}{n^3} = (-1)^n \left( \frac{2}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) - \frac{2}{n^3} $$

于是： $$ b_n = \frac{4}{\pi} \left[ (-1)^n \left( \frac{2}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) - \frac{2}{n^3} \right] $$

正弦级数展开式为： $$ f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx) $$ 其中 $b_n$ 如上。

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### 二、展开成余弦级数（偶延拓）

对 $ f(x) $ 作偶延拓，则 $$ b_n = 0,\quad a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx,\quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx $$

先算 $a_0$： $$ a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2x^2 \, dx = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{4\pi^2}{3} $$

再算 $a_n$： $$ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} 2x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx $$

计算积分： $$ \int x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{x^2}{n} \sin(nx) - \frac{2}{n} \int x \sin(nx) \, dx $$ 而 $$ \int x \sin(nx) \, dx = -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx) $$ 所以 $$ \int x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{x^2}{n} \sin(nx) + \frac{2x}{n^2} \cos(nx) - \frac{2}{n^3} \sin(nx) $$

代入上下限 $0$ 到 $\pi$： - 当 $x = \pi$：$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$，得 $$ 0 + \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n - 0 = \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n $$ - 当 $x = 0$：得 $0$

因此： $$ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n $$ 于是： $$ a_n = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{n^2}(-1)^n = \frac{8}{n^2}(-1)^n $$

余弦级数展开式为： $$ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) = \frac{2\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8(-1)^n}{n^2} \cos(nx) $$

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**最终结果**：

正弦级数： $$ \boxed{2x^2 = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (-1)^n \left( \frac{2}{n^3} - \frac{\pi^2}{n} \right) - \frac{2}{n^3} \right] \sin(nx)} $$

余弦级数： $$ \boxed{2x^2 = \frac{2\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{8(-1)^n}{n^2} \cos(nx)} $$

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难度：★★☆☆☆ （计算量中等，但方法固定，属于常规傅里叶级数展开题）

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：展开成正弦级数（奇延拓）
对 f(x)=2x^2 在 [0,π] 上作奇延拓，则傅里叶系数 a_n=0，b_n = (2/π)∫_0^π f(x) sin(nx) dx。代入 f(x)=2x^2 得 b_n = (4/π)∫_0^π x^2 sin(nx) dx。
公式：b_n = (4/π)∫_0^π x^2 sin(nx) dx
提示：奇延拓后正弦级数只含正弦项。
步骤 2/6
目标：计算 b_n 的积分
使用分部积分：∫ x^2 sin(nx) dx = -x^2/n cos(nx) + (2/n)∫ x cos(nx) dx，而 ∫ x cos(nx) dx = x/n sin(nx) + 1/n^2 cos(nx)。代入上下限 0 到 π，得到 ∫_0^π x^2 sin(nx) dx = (-1)^n (2/n^3 - π^2/n) - 2/n^3。因此 b_n = (4/π)[(-1)^n (2/n^3 - π^2/n) - 2/n^3]。
公式：b_n = (4/π)[(-1)^n (2/n^3 - π^2/n) - 2/n^3]
提示：注意 sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n。
步骤 3/6
目标：写出正弦级数展开式
正弦级数为 f(x) ~ Σ_{n=1}^∞ b_n sin(nx)，其中 b_n 如上。
公式：2x^2 = (4/π) Σ_{n=1}^∞ [(-1)^n (2/n^3 - π^2/n) - 2/n^3] sin(nx)
提示：级数在间断点处收敛到平均值。
步骤 4/6
目标：展开成余弦级数（偶延拓）
对 f(x) 作偶延拓，则 b_n=0，a_0 = (2/π)∫_0^π f(x) dx，a_n = (2/π)∫_0^π f(x) cos(nx) dx。代入 f(x)=2x^2 得 a_0 = (4/π)∫_0^π x^2 dx = 4π^2/3，a_n = (4/π)∫_0^π x^2 cos(nx) dx。
公式：a_0 = 4π^2/3，a_n = (4/π)∫_0^π x^2 cos(nx) dx
提示：偶延拓后余弦级数只含余弦项和常数项。
步骤 5/6
目标：计算 a_n 的积分
使用分部积分：∫ x^2 cos(nx) dx = x^2/n sin(nx) - (2/n)∫ x sin(nx) dx，而 ∫ x sin(nx) dx = -x/n cos(nx) + 1/n^2 sin(nx)。代入上下限 0 到 π，得到 ∫_0^π x^2 cos(nx) dx = 2π/n^2 (-1)^n。因此 a_n = (4/π) * (2π/n^2)(-1)^n = 8(-1)^n/n^2。
公式：a_n = 8(-1)^n/n^2
提示：注意 sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n。
步骤 6/6
目标：写出余弦级数展开式
余弦级数为 f(x) ~ a_0/2 + Σ_{n=1}^∞ a_n cos(nx) = 2π^2/3 + Σ_{n=1}^∞ 8(-1)^n/n^2 cos(nx)。
公式：2x^2 = 2π^2/3 + Σ_{n=1}^∞ 8(-1)^n/n^2 cos(nx)
提示：常数项 a_0/2 = 2π^2/3。

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